Является ли марковской последовательность?

[kirill94]

Рассматриваем случайные величины $\xi_1, \xi_2 \ldots $ - независимые и одинаково распределенные с плотностью $p(t)$, где $p(t)>0 \; \forall t \in \mathbb{R}.$ По ним строим случайные величины

$$ S_n := \xi_1 + \ldots + \xi_n, \; S_0 := 0. $$

Далее вводим

$$\tau_n := \max\{S_0, S_1, \ldots S_n\}.$$

Вопрос - является ли случайная последовательность $\tau_1, \tau_2, \ldots$ марковской или нет?

Я пытался доказать, что последовательность не является марковской. Для этого рассмотрел

$$\mathbb{P}\{\tau_4 >x | \tau_3 = x, \tau_2 = 0 \}$$

и

$$\mathbb{P}\{\tau_4 >x | \tau_3 = x, \tau_2 = x \}, $$

далее расписал данные вероятности через интегралы, но не смог доказать, что интегралы не равны.

[Lukum]

Не является марковской.

[kirill94]

Я догадывался, а не могли бы вы дать хотя бы идею доказательства? Заранее спасибо.

[Lukum]

Извините, я неверно написал, является, это марковская цепь. Посмотрите вики, например, Ширяев "Вероятность", кажется второй том.

[--mS--]

Конечно же, никакая не марковская цепь.
Про интегралы не скажу, а для общих выводов вполне достаточно дискретных примеров. Скажем, если $\xi_i$ принимают значения $0,\, \pm 1$ с вероятностями по $1/3$, то, если не ошибаюсь,

$$\mathsf P(\tau_3=1 | \tau_2=1) = \dfrac{\mathsf P((0,1,0), (0,1,-1), (1,0,0), (1,0,-1),(1,-1,-1),(1,-1,0),(1,-1,1))}{\mathsf P((0,1), (1,0), (1,-1))}=\dfrac79,$$

а

$$\mathsf P(\tau_3=1 | \tau_2=1, \tau_1=1) = \dfrac{\mathsf P((1,0,0), (1,0,-1),(1,-1,-1),(1,-1,0),(1,-1,1))}{\mathsf P((1,0), (1,-1))}=\dfrac56.$$

[Henrylee]

В непрерывном случае можно также обойтись без интегралов. С позволения ТС возьму чуть-чуть другие вероятности. Для $x>0$

$$ \Prob\left\{\tau_3\leqslant x\,|\,\tau_2=x,\tau_1=0\right\}=\Prob\left\{\xi_3\leqslant0\right\} $$

$$ \Prob\left\{\tau_3\leqslant x\,|\,\tau_2=x,\tau_1=x\right\}= \Prob\left\{S_3\leqslant x\,|\,\xi_1=x,\xi_2\leqslant0\right\}= $$ $$ =\Prob\left\{\xi_2+\xi_3\leqslant 0\,|\,\xi_1=x,\xi_2\leqslant0\right\}= \Prob\left\{\xi_2+\xi_3\leqslant 0\,|\,\xi_2\leqslant0\right\} $$

Например, для стандартных гауссовских $\xi_i$, пользуясь симметрией совместной гауссовской плотности, нетрудно убедиться, что первая вероятность равна $1/2$, а вторая $3/4$.