Найти норму оператора

[Vanilin]

Найти норму оператора в $L_{2}[-b,b]$

$(Ax)(t)=\int\limits_{t}^{b}x(s)ds $
$\left\| Ax \right\|\leqslant ( \int\limits_{-b}^{b} |\int\limits_{t}^{b}1\cdot x(s)ds|^{2} dt )^{1/2}=\left\|x\right\| \cdot ( \int\limits_{-b}^{b}\int\limits_{t}^{b}dsdt)^{1/2}=\left\|x\right\| \int\limits_{-b}^{b}(bt-t^{2}/2)dt=2b^{2} \left\|x\right\|$
А дальше какую надо брать пробную функцию $x(s)=?$

[ewert]

Vanilin в сообщении #867685 писал(а):

А дальше какую надо брать пробную функцию $x(s)=?$

Никакую, так дёшево тут не отделаешься (норма достигается на некоем синусе или косинусе).

Тут проще всего перейти к обратным операторам. Если $B=A^{-1}$, то $B$ -- это минус оператор дифференцирования с условием Дирихле на одном из концов промежутка. Тогда сопряжённый оператор $B^*$ -- это плюс дифференцирование и тоже с условием Дирихле, но уже на противоположном конце. Соответственно, $B^*B$ -- это минус оператор двукратного дифференцирования с условием Дирихле на одном конце и Неймана на другом. Собственные числа такого оператора (т.е. собственные числа соответствующей задачи Штурма-Лиувилля) элементарно выписываются. Так вот минимальное из них и есть единица делить на квадрат нормы исходного оператора.

(Оффтоп)

Эта задачка, в разных вариантах, возникает здесь, на форуме, с пугающей регулярностью. По-хорошему надо бы было погуглить и сослаться на уже обсуждённую; да вот гуглить лень.

[Vanilin]

Что то я не понимаю как Ваш алгоритм применить к задаче, можете немножко поподробней хотя бы начало? Нашел похожее решение topic8129.html попробую разобраться

[Oleg Zubelevich]

Эдвардс: Функциональный Анализ

[Vanilin]

Люди помогите понять нашел решение в другом топике topic8129.html.
Тут RIP в своем первом посте пишет что при $x(t)=p(t)$ неравенство превращается в равенство. Почему?