Функан. Сходимость последовательности в $L_1[0,1]*$

[the anion]

Дана последовательность функций $sin(\pi n t)\in L_1[0,1]^{*}$
Помогите доказать, что нет слабой сходимости к нулю. Я доказал, что имеется слабая* сходимость к нулю. В указании сказано, что нужно использовать теорему Хана-Банаха о продолжении функционала. Нужно как-то построить функционал $f$ из $L_1[0,1]^{**}$ такой, что $f(sin(\pi n t))$ не стремится к нулю.

[Brukvalub]

Может, сначала так "плохо" задать этот функционал на рассматриваемой последовательности, что сходимости к 0 явно не будет, а потом продолжить его?

[the anion]

Brukvalub в сообщении #868425 писал(а):

Может, сначала так "плохо" задать этот функционал на рассматриваемой последовательности, что сходимости к 0 явно не будет, а потом продолжить его?

Я пытался задать функционал на моей последовательности равный единице и продолжить по линейности на подпространство порожденного этими синусами. Для использования теоремы Хана-Банаха нужно убедиться, что этот функционал непрерывен. Тут я и не знаю, что делать. На самом деле даже не понятно, почему такой способ не проходит в $L_p^{*}, p>1$. Там есть слабая сходимость, которую я доказал, используя явный вид сопряженного пространства и дуальность.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим функионал $\delta_{1/2}$ (дельта-функция), который определен на $C[0,1]$ но по теореме Хана-Банаха продолжается и на $L^\infty[0,1]=(L^1[0,1])^*$

[the anion]

Oleg Zubelevich в сообщении #868476 писал(а):

Рассмотрим функионал $\delta_{1/2}$ (дельта-функция), который определен на $C[0,1]$ но по теореме Хана-Банаха продолжается и на $L^\infty[0,1]=(L^1[0,1])^*$

Большое спасибо, что могли несмотря на то, что задача была очевидной.