Проблема с интегралом

[MestnyBomzh]

Ищу $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})}; \int \frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})} = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctg(\frac{\tg(\frac{x}{2})}{\sqrt{3}})+\frac{1}{\sqrt{2}} \arctg(\frac{\tg(\frac{x}{2})}{\sqrt{2}})$
Подставляя $x_1=2 \pi$ и $x_2=0$ и примерняя фор-лу Ньютона-Лейбница получаем: $\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{(2+\cos{x})(3+\cos{x})} = F(x_1) - F(x_2) = 0$; Но это точно неверно, так как график изначальной подинтегральной функции полностью находится над $OX$, это же подтверждает и вольф. Не могли бы вы подсказать, где ошибка?

[provincialka]

В нарушении условий соответствующей теоремы. Например, замена у вас не непрерывная.

[MestnyBomzh]

provincialka
То есть проблема в универсальной тригонометрической подстановке? Её нельзя делать или нужно что-то учесть, подправить?

[Brukvalub]

Найденная функция имеет разрывы 1-го рода с ненулевыми скачками на участке интегрирования, поэтому она не является первообразной ни в каком допустимом для формулы Ньютона-Лейбница смысле.

[MestnyBomzh]

Ага, вижу, да... Можно ли тогда вычислить интеграл от нуля до $\pi$ и от $\pi$ до $2\pi$ и сложить их?

[provincialka]

Можно сразу по промежутку $[-\pi;\pi]$.

[MestnyBomzh]

Так... А ведь в $\pi$ тангенс не существует. Мы должны в пределе должны брать? То есть, $\tg \to \infty $ => $\arctg \to \frac{\pi}{2}$?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #868557 писал(а):

То есть, $\tg \to \infty $ => $\arctg \to \frac{\pi}{2}$?

Можно так, но можно и тупее (и, кстати, надёжнее). Как только сделали универсальную тригподстановку -- немедленно пересчитайте и пределы и больше к иксам не возвращайтесь.