2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 00:51 
Здравствуйте!

Встретил такую задачу: записать двойной интеграл $$\int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{\sqrt{x}}^{2-x} f(x,y) dy$$ в полярной системе координат.

Область интегрирования:
Изображение


В полярной системе координат: $$y=\sqrt{x} \Rightarrow r = \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}$$

$$y=2-x \Rightarrow r = \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

Не могу понять, как будет задаваться область в полярной системе координат... Видимо, нужно разделить область интегрирования некоторым лучом $\varphi = a$, вот только не знаю, как найти это $a$...

Подскажите, пожалуйста, как быть :|

-- 26.05.2014, 01:56 --

Возможно будет $$\frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)} \leqslant r \leqslant \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

$$0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$$ Но проблема в том, что с такими пределами интеграл расходится (из-за нуля).

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:17 
Левое $\varphi$ можно взять чуть больше нуля: $\frac{\pi}4$.

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:20 
arseniiv
Спасибо за ответ! Так все сходится, но почему именно $\frac{\pi}{4}$ ?

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:26 
Limit79
У Вас больно много всего понарисовано, поди, сами путаетесь. Заштрихуйте нужную область и смотрите, в каких пределах там меняется полярный угол.
Верхнюю границу изменения $r$ тоже откорректируйте.

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:27 
Хотя нет...

Получается вроде так:
$$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{ \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}}^{\frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}} r f(r \sin(\varphi),r \cos(\varphi)) dr$$

Например, если $f(x,y) = 1$, то значения интегралов совпадают, если другая -- нет.

-- 26.05.2014, 02:29 --

Otta в сообщении #867888 писал(а):
У Вас больно много всего понарисовано, поди, сами путаетесь. Заштрихуйте нужную область

Так там же всего прямая и корень :|

А полярный угол может меняться от большего к меньшему?

-- 26.05.2014, 02:31 --

Otta
А, почему $\frac{\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$ -- понял.

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:34 
Limit79 в сообщении #867889 писал(а):
Так там же всего прямая и корень

Вот я и говорю - путаетесь. :D
Limit79 в сообщении #867889 писал(а):
А, почему $\frac{\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$ -- понял.

Ок.
Верхний предел исправьте.

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:37 
Otta в сообщении #867893 писал(а):
Верхний предел исправьте.

Изображение


Везде от синей до красной линии - от корня до прямой :|

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:39 
Limit79 в сообщении #867872 писал(а):
$$y=2-x \Rightarrow r = \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

Вот откуда это?

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:39 
Двойку забыл $$\frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)} \leqslant r \leqslant \frac{2}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$ :facepalm:

-- 26.05.2014, 02:40 --

Otta
Вы двойку имели ввиду?

Но картину это не поменяло...

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:40 
Ну да. Теперь нормально.

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:43 
Например: $$\int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{\sqrt{x}}^{2-x} x dy \approx 0.267$$ а

$$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{ \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}}^{\frac{2}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}} r r \sin(\varphi) dr \approx 0.917$$

:|

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:44 
Ну я ж не виновата, что Вы замену неправильно делаете. )

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 01:45 
Мой косяк :facepalm:

Otta
arseniiv
Большое спасибо за помощь!

-- 26.05.2014, 02:46 --

Otta в сообщении #867906 писал(а):
что Вы замену неправильно делаете. )

Виноват :D

 
 
 
 Re: Двойной интеграл в полярных координатах
Сообщение26.05.2014, 15:09 
Ну я-то только один предел всего указал. :-)

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group