Двойной интеграл в полярных координатах

[Limit79]

Здравствуйте!

Встретил такую задачу: записать двойной интеграл

$$\int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{\sqrt{x}}^{2-x} f(x,y) dy$$

в полярной системе координат.

Область интегрирования:

В полярной системе координат:

$$y=\sqrt{x} \Rightarrow r = \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}$$

$$y=2-x \Rightarrow r = \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

Не могу понять, как будет задаваться область в полярной системе координат... Видимо, нужно разделить область интегрирования некоторым лучом $\varphi = a$, вот только не знаю, как найти это $a$...

Подскажите, пожалуйста, как быть

-- 26.05.2014, 01:56 --

Возможно будет

$$\frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)} \leqslant r \leqslant \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

$$0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$$

Но проблема в том, что с такими пределами интеграл расходится (из-за нуля).

[arseniiv]

Левое $\varphi$ можно взять чуть больше нуля: $\frac{\pi}4$.

[Limit79]

arseniiv
Спасибо за ответ! Так все сходится, но почему именно $\frac{\pi}{4}$ ?

[Otta]

Limit79
У Вас больно много всего понарисовано, поди, сами путаетесь. Заштрихуйте нужную область и смотрите, в каких пределах там меняется полярный угол.
Верхнюю границу изменения $r$ тоже откорректируйте.

[Limit79]

Хотя нет...

Получается вроде так:

$$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{ \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}}^{\frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}} r f(r \sin(\varphi),r \cos(\varphi)) dr$$

Например, если $f(x,y) = 1$, то значения интегралов совпадают, если другая -- нет.

-- 26.05.2014, 02:29 --

Otta в сообщении #867888 писал(а):

У Вас больно много всего понарисовано, поди, сами путаетесь. Заштрихуйте нужную область

Так там же всего прямая и корень

А полярный угол может меняться от большего к меньшему?

-- 26.05.2014, 02:31 --

Otta
А, почему $\frac{\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$ -- понял.

[Otta]

Limit79 в сообщении #867889 писал(а):

Так там же всего прямая и корень

Вот я и говорю - путаетесь.

Limit79 в сообщении #867889 писал(а):

А, почему $\frac{\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$ -- понял.

Ок.
Верхний предел исправьте.

[Limit79]

Otta в сообщении #867893 писал(а):

Верхний предел исправьте.

Везде от синей до красной линии - от корня до прямой

[Otta]

Limit79 в сообщении #867872 писал(а):

$$y=2-x \Rightarrow r = \frac{1}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

Вот откуда это?

[Limit79]

Двойку забыл

$$\frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)} \leqslant r \leqslant \frac{2}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}$$

-- 26.05.2014, 02:40 --

Otta
Вы двойку имели ввиду?

Но картину это не поменяло...

[Otta]

Ну да. Теперь нормально.

[Limit79]

Например:

$$\int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{\sqrt{x}}^{2-x} x dy \approx 0.267$$

а

$$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int\limits_{ \frac{\operatorname{ctg} ( \varphi)}{\sin( \varphi)}}^{\frac{2}{\sin( \varphi) + \cos( \varphi)}} r r \sin(\varphi) dr \approx 0.917$$

[Otta]

Ну я ж не виновата, что Вы замену неправильно делаете. )

[Limit79]

Мой косяк

Otta
arseniiv
Большое спасибо за помощь!

-- 26.05.2014, 02:46 --

Otta в сообщении #867906 писал(а):

что Вы замену неправильно делаете. )

Виноват

[arseniiv]

Ну я-то только один предел всего указал.