Как можно себе представить квантовое движение?

[Sicker]

нет, она только по модулю будет, а так будет вращаться

[warlock66613]

Значит так и надо говорить, что не волновая функция - константа, а её модуль - константа.

[Sicker]

мы сейчас говорим про начальный момент времени, и я под константой имел ввиду всюду постоянную функцию

[warlock66613]

Sicker в сообщении #865803 писал(а):

я под константой имел ввиду всюду постоянную функцию

Ну значит, лапласиан от этой функции будет равен нулю, так ведь?

[Sicker]

да, так

-- 21.05.2014, 00:02 --

но там еще ненулевой всюду постоянный потенциал

[warlock66613]

А-а-а. Ну да, производная будет не ноль. Но ток вероятности будет нулевой. И все наблюдаемые будут константами, включая положение частицы. Значит частица неподвижна.

[Sicker]

что такое ток вероятности?

[warlock66613]

Ну, что такое плотность вероятности знаете? Вероятность в квантовой механике - локально сохраняющаяся величина. Если где-то плотность вероятности уменьшилась, то где-то она должна увеличиться, причём выполняется закон непрерывности $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf \nabla \cdot \mathbf j = 0$. Вот такой вектор $\mathbf j$, который удовлетворяет этому уравнению, и называется током вероятности (сравните с электрическим током - закон сохранения заряда в электродинамике, и током жидкости - уравнение непрерывности в гидродинамике).
Ток вероятности оказывается равен
$\mathbf j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \mathbf \nabla \Psi - \Psi \mathbf \nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \operatorname{Im}(\Psi^*\mathbf \nabla\Psi)$
Вы можете проверить справедливость этой формулы, подставив её в уравнение непрерывности.

[Munin]

Sicker в сообщении #865783 писал(а):

а если мы в область к частице с одной волновой функцией запустим вторую частицу с другой волновой функцией, то их волновые функции сложатся и получившаяся волновая функция будет описывает одну частицу или волновые функции не будут взаимодействовать?

Ни то, ни другое.

Эти две волновые функции образуют вместе более сложный объект - двухчастичную волновую функцию. Её сложно себе представить поначалу, но вы постарайтесь: это $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)$ - комплексная функция в шестимерном пространстве всех возможных положений двух частиц. Для простоты можно представить себе двумерный $\Psi(x_1,y_1,x_2,y_2)$ или одномерный $\Psi(x_1,x_2)$ случаи (частицы могут двигаться каждая в плоскости или по линии). Тогда пространства всех возможных положений - будут четырёхмерным или двумерным.

Поначалу, когда две частицы будут далеко, эта волновая функция будет раскладываться на две независимые волновые функции каждой из частиц по отдельности: $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2)=\Psi_1(x_1,y_1,z_1)\Psi_2(x_2,y_2,z_2).$ Но потом частицы сблизятся, начнут взаимодействовать (если только не выбраны невзаимодействующие типы частиц, например, фотон и нейтрино), и такая разложимость нарушится. Потом она сама собой не восстановится: в общем случае, после того, как частицы разойдутся между собой, они останутся в запутанном (сцепленном) квантовом состоянии.

Sicker в сообщении #865783 писал(а):

а каков критерий неподвижности частицы?

Можно взять оператор скорости (ЛЛ-3 § 19) $\widehat{\mathbf{v}}=-(i\hbar/m)\nabla,$ и применить его к волновой функции. Если он даст нуль - значит, скорость частицы нуль. Например, в основном состоянии электрона в атоме водорода (когда волновая функция постоянна, и образует орбиталь - электронное облако - вида $1s$) - применение оператора скорости даёт не нуль, что физически означает, что электрон постоянно падает на ядро, и отлетает обратно, аналогично движению по кеплеровскому эллипсу с эксцентриситетом $e=1$ (помните, я говорил, что в квантовой физике приходится учитывать возможность нулевого расстояния между частицами?).

Sicker в сообщении #865783 писал(а):

чтобы производная по времени была равна нулю? но так она не ноль

Нет, производная по времени указывает на энергию: $i\hbar(\partial/\partial t).$ А энергия бывает кинетической и потенциальной. Движение в пространстве соответствует только кинетической энергии, и кинетическая энергия даётся первым членом гамильтониана $-(\hbar^2/2m)\nabla^2.$ Вот если этот член равен нулю - то и движения нет. Легко заметить, что это тот же самый критерий, что в предыдущем абзаце, потому что $-(\hbar^2/2m)\nabla^2=(m/2)\bigl[-(i\hbar/m)\nabla\bigr]^2$ - то есть, один оператор равен квадрату другого. Когда равен нулю оператор скорости, тогда равен нулю и оператор энергии. В обратную сторону это не так очевидно, но следует из эрмитовости операторов.

Sicker в сообщении #865846 писал(а):

что такое ток вероятности?

ЛЛ-3 § 19.

Почему бы вам не открыть учебник? Рассказывать вам всю квантовую механику с самого начала на форуме - не имеет большого смысла.

[Sicker]

Munin в сообщении #865950 писал(а):

. Когда равен нулю оператор скорости, тогда равен нулю и оператор энергии.

а в моем случае это же не так
оператор скорости равен нулю, а оператор энергии нет

[dqrz]

(Оффтоп)

давно не встречал таких интересных обсуждений как в этой ветке

[Munin]

Sicker в сообщении #866004 писал(а):

а в моем случае это же не так
оператор скорости равен нулю, а оператор энергии нет

Я не пойму, вы издеваетесь? Я говорю не про оператор полной энергии, а про оператор кинетической энергии.

[Sicker]

Извините, не так прочитал

[Munin]

А вы формулу-то прочитали?

[Sicker]

Ну да