99 простых и 100 составных

[Ktina]

Число представлено как сумма 99 различных простых чисел. Докажите, что его можно представить как сумму 100 различных составных чисел.
(IX Всероссийская смена «Юный математик». ВДЦ «Орлёнок».)

Прежде всего, замечу, что под различными подразумеваются именно попарно различные (в противном случае утверждение не верно).

Итак, если все 99 простых чисел больше 3, заменим каждое из них на число, меньшее на 1. Каждое из получившихся чисел будет составным, так как оно чётно и больше 2. Но сумма уменьшится ровно на 99, значит, добавим ещё одно составное число, 99, получив таким образом ровно 100 составных чисел, дающих ту же сумму, что и исходные 99 простых.

Если одно из 99 простых чисел равно 3, а остальные - больше, то заменим 3 на 6, а каждое из оставшихся "уменьшим" на 1. А в качестве сотого числа добавим 95, чтобы получить ту же сумму.

Если одно из 99 простых чисел равно 2, а остальные - больше 3, то заменим 2 на 4, а каждое из оставшихся "уменьшим" на 1. А в качестве сотого числа добавим 96, чтобы получить ту же сумму.

Если два из 99 простых чисел равны 2 и 3, а остальные - больше, то заменим 2 на 4, а 3 - тоже на 4 (как в «Служебном романе», двое детей - мальчик и мальчик), а каждое из оставшихся "уменьшим" на 1. А в качестве сотого числа добавим 94, чтобы получить ту же сумму.

Это было моё длиннющее решение, а далее в нашей программе длиннющее решение автора задачи:



Это у меня ошибка, или у нас с автором задачи просто два разных подхода к решению?
Пожалуйста, помогите решить.

[iifat]

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

заменим 3 на 6

Вот тут надо рассмотреть случай с присутствием/отсутствием 7 в изначальном наборе. Таких мест несколько.

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

заменим 2 на 4, а 3 - тоже на 4

Не слишком хорошее начало для набора из ста различных чисел, нет?

[Skeptic]

Отнимем от каждого числа $1$. Их сумму единиц примем за новое число.

[Cash]

iifat в сообщении #865881 писал(а):

Вот тут надо рассмотреть случай с присутствием/отсутствием 7 в изначальном наборе

Это лечится заменой не на $6$, а на $8$. Не думаю, что и в остальных случаях будут сложности.

[Ktina]

iifat в сообщении #865881 писал(а):

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

заменим 2 на 4, а 3 - тоже на 4

Не слишком хорошее начало для набора из ста различных чисел, нет?

Техническая деталь, легкоустранимая.
Заменим 2 на 8, а 3 - на 9. Тода сотое число будет 85.

-- 21.05.2014, 09:42 --

iifat в сообщении #865881 писал(а):

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

заменим 3 на 6

Вот тут надо рассмотреть случай с присутствием/отсутствием 7 в изначальном наборе. Таких мест несколько.

Тоже техническая мелочь, Cash уже написал.

[Cash]

Осталось подправить вот это

Ktina в сообщении #865922 писал(а):

Если одно из 99 простых чисел равно 2, а остальные - больше 3, то заменим 2 на 4, а каждое из оставшихся "уменьшим" на 1. А в качестве сотого числа добавим 96, чтобы получить ту же сумму

На самом деле тут действительно 2 разных подхода. Ktina выстраивает результирующий набор из исходного, а автор реализует элементарную идею, что любое достаточно большое четное число можно разложить на сумму заданного количества различных четных чисел. Получилось, на мой взгляд, неудачно, но это дело вкуса.

[Ktina]

Cash в сообщении #865954 писал(а):

...Получилось, на мой взгляд, неудачно, но это дело вкуса.

Так у кого неудачно - у меня или у автора?

[Cash]

У автора, у автора...

[Батороев]

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

Если одно из 99 простых чисел равно 2, а остальные - больше 3, то заменим 2 на 4, а каждое из оставшихся "уменьшим" на 1. А в качестве сотого числа добавим 96, чтобы получить ту же сумму.

Небольшая неувязка: Среди простых может быть $97$, тогда у Вас будет два составных $96$.

-- 22 май 2014 06:09 --

Ktina в сообщении #865847 писал(а):

то заменим 2 на 4, а 3 - тоже на 4 (как в «Служебном романе», двое детей - мальчик и мальчик)

"Служебный роман" противоречит условию.

[Ktina]

Батороев
Да, да, это всё по моей невнимательности

[Skeptic]

Решение задачи уже было, но нечёткое.

От каждого числа, кроме $2$ и $3$, отнимем $1$. А к $2$ и $3$ прибавим $6$.
Добавляемое число будет:
если нет ни $2$, ни $3$, то $99$,
если есть $2$ или $3$, то 92,
если есть и $2$, и $3$, то 85.