Подкольцо в кольце, кольцо в поле, а есть ли в подкольце E?

[misha89]

Поле - коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей и все ненулевые элементы обратимы.

Кольцо - непустое множество, на котором определены 2 операции: сложение и умножение, сопоставляющие каждым 2-м элементам их сумму и произведение.
Предполагается, что операции удовлетворяют условиям:
1. Все элементы по сложению образуют абелеву группу с нулевым элементом 0;
2. Умножение дистрибутивно относительно сложения;
3. Ассоциативность умножения;
4. Коммутативность умножения;
5. Существование единичного элемента.

Подкольцо - собственное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению и всесте с каждым элементом содержит противоположный (остальные свойства кольца выполняются автоматически, т.к. это собственное подмножество).
_____________

Это были определения из лекций.

Теперь мои мысли: Кольцо в поле, значит кольцо содержит элементы какие-то, их обратные, нулевой элемент, противоположные и единичный элемент.

Подкольцо содержит элемент и его противоположный, значит и нулевой.

Вопрос: Есть ли в подкольце единица? Если есть, то почему?

-- 19.05.2014, 19:27 --

Или определения не всю информацию выдали, либо под словом "противоположным" автор имел в виду противоположный по сложению, обратный по умножению. Не пойму. Спросить не вариант, не ответит.

Подскажите, пожалуйста.

[AV_77]

Противоположный - это обратный по сложению.
Есть разные определения подкольца, в одном случае требуется наличие в подкольце единицы, а в другом - нет. Соответственно и единица в первом случае обязательно будет, а во втором - может быть, может быть единица, отличная от единицы кольца, а может и не быть вовсе. В вашем определении подкольцо единицу содержать не обязано, что вообще странно, так как это не согласовано с определением кольца.

[misha89]

AV_77
, как мне теперь доказать, что в подкольце есть единица?

Если что, то речь идет о кольце матриц на полем. В кольце есть двусторонний идеал.

Получается, что идеал - это подкольцо. Надо доказать, что там есть единица.

Можно ли сказать, пусть идеал не совпадает с кольцом, $\exists A \in R, A \notin I,$ и как-то объяснить, что идеал образует свое кольцо? А раз идеал - кольцо, то там есть единичный элемент?

[Joker_vD]

Есть пять возможностей (мы говорим о коммутативных кольцах):

1) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ также его содержит: $1_R\in S$;

2) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ его не содержит: $1_R\notin S$; более того, ни один из элементов кольца $S$ не является единицей кольца $S$: $\nexists 1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x.$ Пример: $R$ — кольцо целых чисел, $S$ — кольцо четных чисел;

3) Кольцо $R$ содержит единичный элемент $1_R\in R$, его подкольцо $S$ его не содержит: $1_R\notin S$; однако у кольца $S$ имеется собственный единичный элемент $1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x.$ Пример: $R$ — кольцо вычетов по модулю шесть; $S$ — его подмножество $\{\overline0,\overline2,\overline4\}$ (нетрудно видеть, что $\overline4$ является единичным элементом).

4) Кольцо $R$ не содержит единичного элемента, однако его подкольцо $S$ имеет собственный единичный элемент $1_S\in S\colon \forall x\in S\quad x\cdot 1_S=1_S\cdot x = x,$ который, повторю еще раз, не является единичным элементом кольца $R$: $\exists y\in R\colon 1_S\cdot y \ne y.$ Пример: $R$ — прямое произведение $\mathbb Z\times 2\mathbb Z$ кольца целых чисел и кольца четных чисел, $S$ — его подмножество $\{0\}\times 2\mathbb Z$.

5) Кольцо $R$ не содержит единичного элемента, и его подкольцо $S$ тоже не содержит единичного элемента. Пример: $R$ — кольцо четных чисел, $S$ — кольцо чисел, кратных четырем.

[AV_77]

misha89 в сообщении #865447 писал(а):

Можно ли сказать, пусть идеал не совпадает с кольцом, $\exists A \in R, A \notin I,$ и как-то объяснить, что идеал образует свое кольцо? А раз идеал - кольцо, то там есть единичный элемент?

Нет, конечно. Вы все-таки разберитесь с определениями.

Поводу кольца матриц. Надо пользуясь свойствами идеалов показать, что если $I$ - ненулевой идеал кольца матриц над полем $M_n(P)$, то он содержит все матричные единицы. Это не так сложно.

[misha89]

AV_77, кольцо $R$, идеал $I$
$a_{n \times m} \in R, b_{m \times l} \in I \Rightarrow a_{n \times m}b_{m \times l} = c_{n \times l} \in I;$
$d_{l \times z} \in R, c_{n \times l} \in I \Rightarrow c_{n \times l}d_{l \times z} = g_{n \times z} \in I;$
Получается, что идеал содержит матрицы всех размеров.
$\exists e \in R, \forall a \in R, b \in I: eb = be = b \in I.$
Идеал должен быть замкнут относительно операции сложения и умножения, значит $ b^{-1} \in R, b \in I: b^{-1}b, bb^{-1} \in I, b^{-1}b = bb^{-1} = e \Rightarrow e \in I.$

Верно?

[AV_77]

Тут не то чтобы не верно, а просто что-то бессмысленное написано.

Давайте начнем сначала. Какое у вас кольцо? А лучше даже так: как у вас задача формулируется?

[misha89]

AV_77, доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо совпадает с кольцом, либо нулевой.

Если в идеале есть единичный элемент, то он совпадает. Остается доказать, что он там есть, верно?
У меня бессмыслица даже насчет матриц всех размеров? Не согласен, логично же все.

[AV_77]

misha89 в сообщении #865707 писал(а):

У меня бессмыслица даже насчет матриц всех размеров? Не согласен, логично же все.

Ничего логичного нет. Множество всевозможных матриц (всех размеров) кольцом не является (почему?). Так что вам первый вопрос: множество каких матриц является кольцом?

[misha89]

AV_77, получается только квадратные матрицы образуют кольцо?
Но тогда почему вы написали

AV_77 в сообщении #865623 писал(а):

... то он содержит все матричные единицы.

Я понял "все" значит всех размеров.

[AV_77]

Матричные единицы и единичные матрицы это разные понятия. Множество квадратных матриц порядка $n$ содержит одну единичную матрицу и $n^2$ матричных единиц.

[misha89]

AV_77
, понял.

misha89 в сообщении #865707 писал(а):

AV_77, доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо совпадает с кольцом, либо нулевой.

Если в идеале есть единичный элемент, то он совпадает. Остается доказать, что он там есть, верно?

Пусть идеал не совпадает с кольцом, надо доказать, что в идеале есть единица, тогда мы получим противоречие.

Как это доказать?

Идеал замкнут относительно сложения. Двусторонний идеал $a \in R, b \in I: ab, ba \in I.$
$(b) = \{a\cdot b+nb\}, \Rightarrow (b) = \{ b\cdot (a +e+e+e+...)\} = \{b\cdot a_1\}.$
Если воспользоваться определением идеала и вот так довести его до короткой записи, то можно сказать, что и простой элемент $ab$, и $a_1b \in I. А раз идеал замкнут по сложению, то можно представить a_1b = (a+e)b $и из этого вычесть первое $(a+e)b -ab = eb =b.$:(

Помогите решить

[AV_77]

Я же написал как решать. Вот чуть подробнее.
1) Начните с одной ненулевой матрицы $A$ в этом идеале. Для определенности можно считать, что элемент $a_{11}$ в первой строке и первом столбце ненулевой. Это не накладывает каких-либо ограничений, так как перестановкой строк и столбцов (этого можно добиться умножением на подходящие матрицы) можно добиться выполнения этого условия.
2) Подберите такие матрицы $B$ и $C$, чтобы выполнялось равенство $E_{11} = BAC$. Здесь $E_{11}$ - матричная единица.
3) Покажите, что для любой матричной единицы $E_{rs}$ можно найти подходящие матрицы $P$ и $K$ такие, что $E_{rs} = PE_{11}K$.
4) Сделайте нужный вывод.

[misha89]

Спасибо, разобрался.