Изоморфизм групп, прямая сумма.

[lena7]

Да

[misha89]

lena7, а значит $Z/6z\oplus Z/36Z, Z/9Z\oplus Z/24Z$ не изоморфны?

[AV_77]

Нет.

[misha89]

AV_77, нет, изоморфны или нет, не изоморфны?

[AV_77]

Нет, не изоморфны.

[misha89]

AV_77, отлично, со свойствами разобрался. А верный ли получился гомоморфизм ? $\varphi((a+6*b)(\mod 6), b) = ((x+12y)(\mod 12), y).$

[AV_77]

У вас пока никакого изоморфизма не определено толком. С одной стороны $a$ и $b$, с другой - $x$ и $y$, которые между собой никак не связаны.

[misha89]

AV_77, $N = a+6\cdot b$. С одной стороны $N$ принимает различные значения от 0 до 215, в зависимости от переменных. С другой стороны он равен $N = x+12\cdot y$ и также определяется однозначно в зависимости от переменных.
Как мне теперь записать это в виде гомоморфизма корректно?

[provincialka]

Проверьте, что будет при сложении. Например, при $a=5,b=0$ имеем $N=5$. Во второй группе получаем $x=5,y=0$. Сложим эти элемент сам с собой. В первой группе получаем элемент $(4,0)$, во второй $(10, 0)$. Но эти элементы не соответствуют друг другу при вашем отображении. Действительно, для первого имемм$N=4$, а для второго - $N=10$. Так что это не изоморфизм. Изоморфизм выглядит не так просто.

[AV_77]

Как построить изоморфизм в явном виде вам уже рассказывали, поищите в теме.

[misha89]

AV_77, $Z/12Z\oplus Z/18Z \cong Z/4Z \oplus Z/3Z \oplus Z/2Z \oplus Z/9Z, Z/6Z\oplus Z/36Z.$

$(3) = \{3, 6, 9, 0\}, (9) = \{9, 0\}, (2) = \{2, 4,6,8,10,12,14,16,0\}, (8) = \{8, 4, 0\}.$

$\varphi: Z/2\oplus Z/3Z \to Z/6Z.$
$\varphi(a,b) = a+b.$
$(0,0) = 0; (0,4) = 4; (0,8) = 2; (9,0) = 3; (9,4) = 1; (9,8) = 5.$
$(0,4)+(0,8) = (0,12) = (0,0) = 0. (0,4) + (0,8) = 4+2=6=0.$

Это верно.

Но с $\varphi: Z/4\oplus Z/9Z \to Z/36Z$ не выходит. Там простая сумма не пройдет. И всякие умножения тоже не получились. Подскажите пожалуйста.

[misha89]

До сих пор не разобрался.
Я хотя бы верно написал первое отображение?