Помогите решить задачу оптимизации

[prof.uskov]

Требуется найти в аналитическом виде min функции

$Q(x_1,x_2,... ,x_l) = {\sum\limits_{j = 1}^l {({e^{0.4{x_j}}}-1}) } \prod\limits_{i = 0}^{j - 1} {x_i}$,

где
$l - const (l>0)$,
$x_0=1$;

при ограничениях

$\prod\limits_{j = 1}^l{x_j}=C$,
$x_1,x_2,... ,x_l >0 $,

где
$C - const (C>0)$

[Oleg Zubelevich]

prof.uskov в сообщении #821879 писал(а):

Требуется найти в аналитическом виде min функции

встречное предложение: исследуйте случай $l=2$ прямо здесь своею собственной рукой. Это стандартная задача по матану

[prof.uskov]

Oleg Zubelevich в сообщении #862442 писал(а):

prof.uskov в сообщении #821879 писал(а):

Требуется найти в аналитическом виде min функции

встречное предложение: исследуйте случай $l=2$ прямо здесь своею собственной рукой. Это стандартная задача по матану

Спасибо, что откликнулись.
Берем частный случай $l=2$. Из ограничения типа "равенство" выражаем $x_2$ через $x_1$, подставляем в функцию оптимизации. Дифференцируем ее, приравниваем к 0. Получаем довольно "корявое" уравнение с экспонентами. Как его решать для меня не очевидно, решается ли оно в аналитике? Если даже получится решить, то вопрос: там есть еще требование положительности, а если решение окажется отрицательным, то, значит, оно не в стационарной точке, а на границе? И еще нужно проверить минимум это или максимум.

-- 18.05.2014, 20:49 --

Вот такое уравнение получается при $C=1$ , если ничего не перепутал:
$0.4e^{0.4{x}}-1+e^{0.4/x}-(0.4/x)e^{0.4/x}=0$

[Oleg Zubelevich]

Конечно это уравнение аналитически не решается. Поэтому минимум находится на границе, если вообще существует.

[prof.uskov]

Oleg Zubelevich в сообщении #865049 писал(а):

Конечно это уравнение аналитически не решается. Поэтому минимум находится на границе, если вообще существует.

Минимум существует, я численно решал для разных ситуаций и линии уровня строил. Минимум находится на границе чего, не совсем понял, ведь после подстановки у нас нет ограничения "типа равенств"?

Еще вопрос, если нет решается в аналитическом виде даже для двумерного случая, для получения приближенного решения, но чтобы в аналитическом виде, какой-нибудь подход существует?

[Xaositect]

Oleg Zubelevich в сообщении #865049 писал(а):

Конечно это уравнение аналитически не решается. Поэтому минимум находится на границе, если вообще существует.

Вообще-то функция $(e^{Ax} - 1) + (e^{AC/x} - 1)x$ ($A, C > 0$) строго выпуклая на $(0,\infty)$ и стремится к $+\infty$ при $x\to+0$ и $x\to+\infty$. Это значит, что минимум достигается в единственной внутренней точке этого луча.
Аналитически эту точку действительно не выразить.

[prof.uskov]

Xaositect в сообщении #865058 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #865049 писал(а):

Конечно это уравнение аналитически не решается. Поэтому минимум находится на границе, если вообще существует.

Вообще-то функция $(e^{Ax} - 1) + (e^{AC/x} - 1)x$ ($A, C > 0$) строго выпуклая на $(0,\infty)$ и стремится к $+\infty$ при $x\to+0$ и $x\to+\infty$. Это значит, что минимум достигается в единственной внутренней точке этого луча.
Аналитически эту точку действительно не выразить.

Спасибо.
Какие есть подходы к приближенному решению, но чтобы решение было в аналитическом виде? Может, эту функцию можно заменить какой-нибудь ее аппроксимацией, чтобы решение существовало?

[Oleg Zubelevich]

я там кстати чепуху написал выше: из того, что уравнение не решается в виде явной формулы, конечно не следует, что у него вообще нет решений.

-- Пн май 19, 2014 01:27:15 --

prof.uskov в сообщении #865062 писал(а):

Какие есть подходы к приближенному решению, но чтобы решение было в аналитическом виде?

затабулируйте решение как функцию от параметров и приближайте потом это хоть полиномом. получится формула в "аналитическом виде"

[Xaositect]

prof.uskov в сообщении #865062 писал(а):

Какие есть подходы к приближенному решению, но чтобы решение было в аналитическом виде? Может, эту функцию можно заменить какой-нибудь ее аппроксимацией, чтобы решение существовало?

Например, если взять метод Лагранжа $L(x, y, \lambda) = e^{Ax} - 1 + x(e^{Ay} - 1) + \lambda(xy - C)$, производные $Ae^{Ax} + e^{Ay} - 1 + \lambda y = 0$, $Axe^{Ay} + \lambda x = 0$, отсюда $\lambda = - Ae^{Ay}$, $x = \frac{1}{A} \ln [\frac{1}{A} + (y - \frac{1}{A})e^{Ay}]$ и $C = xy = \frac{1}{A} y \ln [\frac{1}{A} + (y - \frac{1}{A})e^{Ay}]$

Дальше можно уже численно находить $y$ при заданном $C$ (например, при $A = 0.4$, $C = 1$ минимум будет примерно в точке $(0.52, 1.91)$), можно таблицу обратной функции строить, как Oleg Zubelevich говорит, можно посчитать производные и написать формулу Тейлора в окрестности одной посчитанной точки, можно при больших $C$ что-нибудь посмотреть (асимптотически будет $C = y^2 + \frac{1}{A}y\ln y + O(1)$, $y\sim \sqrt C$). Это уже в зависимости от того, при каких значениях параметров Вас эта штука интересует.

[prof.uskov]

Oleg Zubelevich, Xaositect, спасибо большое.

[prof.uskov]

prof.uskov в сообщении #864940 писал(а):

Вот такое уравнение получается при $C=1$ , если ничего не перепутал:
$0.4e^{0.4{x}}-1+e^{0.4/x}-(0.4/x)e^{0.4/x}=0$

Кстати, вы сразу определили, что данное уравнение не решается в аналитическом виде. А как это обосновать, на что сослаться?

[Xaositect]

Я чисто интуитивно это сказал, но если надо обосновать, то из теоремы Линдемана-Вейерстрасса следует, что корень не будет алгебраическим числом, из упомянутого тут на mathoverflow результата Розенлихта у меня вроде получилось, что функция $x(C)$ не элементарная.

Для конкретного уравнения при $C=1$, скорее всего, надо лезть в какую-нибудь совсем глубокую теорию трансцендентных чисел.

[prof.uskov]

Xaositect в сообщении #865361 писал(а):

Я чисто интуитивно это сказал, но если надо обосновать, то из теоремы Линдемана-Вейерстрасса следует, что корень не будет алгебраическим числом, из упомянутого тут на mathoverflow результата Розенлихта у меня вроде получилось, что функция $x(C)$ не элементарная.

Для конкретного уравнения при $C=1$, скорее всего, надо лезть в какую-нибудь совсем глубокую теорию трансцендентных чисел.

Мне обоснование нужно только формальное. Вот напишу я в статье, которая посвящена прикладным вопросам, это уравнение в аналитике не решается, поэтому будем анализировать численно. А рецензент мне в ответ: обоснуй, что не решается, может вы просто решать не умеете. Нужна какая-то ссылка или фраза, которая убедит, типа "это уравнение такого-то типа, аналитических решений не имеет [1]".

[Oleg Zubelevich]

Это по статьям Хованского смотреть надо, хотя, конечно, там только метод доказательства можно обнаружить, а что он именно это уравнение рассматривал, это мало вероятно. Что бы разобраться в его статьях , квалификация должна быть 3 курса математического факультета, как минимум.
Вообще-то уже давно все прекрасно понимают, что все уравнения, которые решаются собраны в учебниках и что таких уравнений очень мало и вероятность встретить такое уравнение в реальной задаче равна нулю.

Это во-первых. А во-вторых,

prof.uskov в сообщении #865377 писал(а):

Вот напишу я в статье, которая посвящена прикладным вопросам, это уравнение в аналитике не решается, поэтому будем анализировать численно

можно подумать, что Вы уравнение $\cos x=1/5$ аналитически решаете. Это Вам только так кажется. Значение $\arccos 1/5$ где добывать будем?

И в-третьих, задачи сперва анализируют качественно: в случае уравнений это сколько решений? как решения завитсят от параметра (убывающие функции возрастающие и т.п., асимптнотики, предельные случаи) а уж потом, когда ясна качественная картина , считают на компе с полным сознанием того, что считаешь

[prof.uskov]

Oleg Zubelevich в сообщении #865773 писал(а):

что Вы уравнение $\cos x=1/5$ аналитически решаете. Это Вам только так кажется. Значение $\arccos 1/5$ где добывать будем?

Конечно же, это решение в аналитическом виде, ибо оно выражается в элементарных функциях!
Арккосинус на калькуляторе посчитаю.
А то так можно договориться, что и 2 на 3 на цело не делится... и линейное уравнение с одним неизвестным тоже в аналитическом виде не решается!