Подобрать функции

[vlad_light]

Пусть $\xi \sim \mathcal N(\mu ,\sigma ^2)$, где $\mu =\mu (x)=a+bx$, т.е. линейно зависит от $x$. Нужно описать (найти) такие (вектор-)функции $\mathbf g (t) = (g_1(t), \ldots ,g_n(t))$, чтобы

$$\operatorname {span}_x (\mathbb E \mathbf g(\xi ))\supseteq \operatorname {span}_x (\mathbb E [\mathbf g(\xi ) (\xi - \mu )])$$

Например: $\mathbf g(t) = (1, t)$. Тогда

$$\mathbb E \mathbf g(\xi ) =\mathbb E (\mathbf 1, \mathbf \xi )=(1, a+bx )\Rightarrow \operatorname {span}_x (\mathbb E \mathbf g(\xi ))= \operatorname {span} (1, x)$$

$$\mathbb E [\mathbf g(\xi ) (\xi - \mu )] = \mathbb E [\mathbf g(\xi )\xi ] - \mu \mathbb E \mathbf g(\xi )=(\mathbb E \xi ,\mathbb E \xi ^2) - \mu (\mathbb E 1 ,\mathbb E \xi )=(\mu ,\mu ^2 + \sigma ^2) - \mu (1, \mu)=$$

$$=(0, \sigma ^2)\Rightarrow \operatorname {span}_x (\mathbb E [\mathbf g(\xi ) (\xi - \mu )])=\operatorname {span} (1)$$

Можно показать, что это будет выполняться и для

$$\mathbf g(t) = (1, t, t^2,\ldots ,t^n), \mathbf g(t) = (1, e^t ,e^{2t},\ldots ,e^{nt}), \mathbf g(t) = (1, \cos t, \sin t, \cos 2t ,\sin 2t ,\ldots \cos nt ,\sin nt)$$

Какие ещё функции можно подобрать? (Условия на $\mathbf g$ только такие, что соответствующие мат. ожидания должны существовать)

[svv]

С помощью интегрирования по частям найдите простое соотношение между $\mathbb E \mathbf g'(\xi)$ и $\mathbb E [\mathbf g(\xi )(\xi - \mu)]$ (как функциями $x$). В этом и разгадка: как минимум, свойство выполняется, когда $\operatorname {span}(\mathbf g'(t))\subseteq \operatorname {span} (\mathbf g(t))$, т.е. когда производная любой функции $g_i(t)$ является линейной комбинацией самих функций $(g_1(t), \ldots ,g_n(t))$, как во всех Ваших примерах.

Вы смело можете считать независимой переменной $\mu$, забыв про $a+bx$. Линейная замена независимой переменной не влияет на свойство линейной комбинации функций быть или не быть равной тождественному нулю.

[vlad_light]

svv в сообщении #863769 писал(а):

свойство выполняется, когда $\operatorname {span}(\mathbf g'(t))\subseteq \operatorname {span} (\mathbf g(t))$

Проблема в том, что я от этого отталкивался:) Значит, на этом утверждении и закончу

[svv]

Значит, всё правильно. Исходная формулировка, через производную, проще. По крайней мере для трёх Ваших систем функций она позволяет с одного взгляда увидеть, что система будет обладать этим свойством, не вычисляя $\mathbb E$.