2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дифференцирование интеграла
Сообщение14.05.2014, 13:24 
$f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, x \neq 0\\
0, x = 0
\end{cases}$
Доказать, что $f(x)$ интегрируема на $ [-1, 1]$ и $F(x) = \int\limits_{-1}^x f(t)dt$ дифференцируема на $(-1, 1)$. Найти $F'(0)$.

То, что $f(x)$ интегрируема очевидно, так как это ограниченная функция c одной точкой разрыва. А вот то, что $F(x)$ дифференцируема в точке $0$ я не согласен, потому что функция $f(x)$ в этой точке не является непрерывной. Наверное сюда снова закралась опечатка и скореее всего автор должен был, доопределяя фнкцию в точке 0, дать ей значение 1?

 
 
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение14.05.2014, 13:27 
Аватара пользователя
Задумайтесь, чем отличаются интегралы от двух функций, каковые функции сами отличаются друг от друга только в одной точке.

 
 
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение14.05.2014, 13:33 
Ничем они не отличаются, получается можно было вообще не доопределять и задание все равно было бы корректным?

-- 14.05.2014, 13:49 --

А можно ли тогда утверждать, что если функция $f(x)$ имеет конечное число точек разрыва на $[a, b]$, причём все они являются устранимыми, то $F(x)$ определена и дифференцируема на $[a, b]$, причём $F'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$?
И кажется это утверждение работает ещё и в обратную сторону.

 
 
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение14.05.2014, 18:54 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #863159 писал(а):
....
А можно ли тогда утверждать, что если функция $f(x)$ имеет конечное число точек разрыва на $[a, b]$, причём все они являются устранимыми, то $F(x)$ определена и дифференцируема на $[a, b]$, причём $F'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$?
...
Это очевидно всякому, кто знает теорему о достаточном условии дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group