Дифференцирование интеграла

[main.c]

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, x \neq 0\\ 0, x = 0 \end{cases}$
Доказать, что $f(x)$ интегрируема на $ [-1, 1]$ и $F(x) = \int\limits_{-1}^x f(t)dt$ дифференцируема на $(-1, 1)$. Найти $F'(0)$.

То, что $f(x)$ интегрируема очевидно, так как это ограниченная функция c одной точкой разрыва. А вот то, что $F(x)$ дифференцируема в точке $0$ я не согласен, потому что функция $f(x)$ в этой точке не является непрерывной. Наверное сюда снова закралась опечатка и скореее всего автор должен был, доопределяя фнкцию в точке 0, дать ей значение 1?

[ИСН]

Задумайтесь, чем отличаются интегралы от двух функций, каковые функции сами отличаются друг от друга только в одной точке.

[main.c]

Ничем они не отличаются, получается можно было вообще не доопределять и задание все равно было бы корректным?

-- 14.05.2014, 13:49 --

А можно ли тогда утверждать, что если функция $f(x)$ имеет конечное число точек разрыва на $[a, b]$, причём все они являются устранимыми, то $F(x)$ определена и дифференцируема на $[a, b]$, причём $F'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$?
И кажется это утверждение работает ещё и в обратную сторону.

[Brukvalub]

main.c в сообщении #863159 писал(а):

....
А можно ли тогда утверждать, что если функция $f(x)$ имеет конечное число точек разрыва на $[a, b]$, причём все они являются устранимыми, то $F(x)$ определена и дифференцируема на $[a, b]$, причём $F'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)$?
...

Это очевидно всякому, кто знает теорему о достаточном условии дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.