Построение факторкольца

[Mary84]

Помогите, пожалуйста, разобраться с построением факторколец по идеалу, представленому полиномом.

Например, факторкольцо $\matthb{Z}[i]/(13)$ состоит из смежных классов $z + (13a+13bi)$ и всеми его элементами являются остатки от деления на 13.

Т.е. это элементы:

$0 + (13)$
$1 + (13)$
...
$ 12 + (13)$

$ i + (13)$
$ 2i + (13)$
...
$ 12i + (13)$
...

$ i +1+ (13)$
...
и так далее.

Попробую построить, например, факторкольцо $(\matthb{Z} /7 \matthb{Z})[x]/(x^2+a)$

$(\matthb{Z} /7 \matthb{Z})[x] = \left \{b_0 +b_1x+b_2x^2+...| b_i \in \matthb{Z} /7 \matthb{Z} \right \}$

Мы строим его по идеалу, который представлен полиномом степени 2, значит в факторкольце будут всевозможные остатки не выше первой степени.

Обозначим$ f(x) = x^2 + a$

$(\matthb{Z} /7 \matthb{Z})[x]/(f(x)) = \left \{ c_0+c_1x | c_i \in \matthb{Z} /7 \matthb{Z}\right \}$

Т.е. элементами будут $0,1,..6,x,1+x,2+x,...,6+x, 1+2x, 1+3x...$ ?

Объясните, пожалуйста, хочу разобраться)

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #863204 писал(а):

Обозначим$ f(x) = x^2 + a$

$(\matthb{Z} /7 \matthb{Z})[x]/(f(x)) = \left \{ c_0+c_1x | c_i \in \matthb{Z} /7 \matthb{Z}\right \}$

Правильно.

Mary84 в сообщении #863204 писал(а):

Т.е. элементами будут $0,1,..6,x,1+x,2+x,...,6+x, 1+2x, 1+3x...$ ?

Скажите, а сколько здесь элементов должно быть? (Это контрольный вопрос.)

[Mary84]

$\matthb{F}_p[x]/(f(x))$

Будет $7+7\cdot7$ элементов.

$ 0...6 $ (7 элементов)

и 7 раз по 7 элементов:

$a+x$
...
$a+6x$

где $a=0,1...6$

Как видите, я их просто подсчитываю. У меня есть формула для расчёта количества элементов поля с расширением $F_{p^n}$. Но мы к полю расширение не добавляли.

Наверное, для количества элементов есть формула или число решений некоторого сравнения.

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #863221 писал(а):

и 7 раз по 7 элементов:

$a+x$
...
$a+6x$

где $a=0,1...6$

Вообще-то 6 раз по 7 элементов.

Mary84 в сообщении #863221 писал(а):

Наверное, для количества элементов есть формула или число решений некоторого сравнения.

Есть, и очень простая, но никаких сравнений решать не нужно.

[Mary84]

Число элементов в конечном поле равно $p^n$ (у нас $7^2 = 49$). Это я про неё писала в предыд. сообщении. Записали её после расширений полей, вот и подумала, что это к расширенным относиться

Сейчас попробую их перечислить снова

[nnosipov]

Mary84 в сообщении #863242 писал(а):

Число элементов в конечном поле равно $p^n$ (у нас $7^2 = 49$).

Да.

Mary84 в сообщении #863242 писал(а):

Сейчас попробую их перечислить снова

А зачем? Вроде бы с этим ясно.

[Mary84]

Для пущей надежности

Да, всё поняла. Там 6 раз по 7 элементов. Лучше было написать так:

$0+a$
$x+a$
$2x+a$
$3x+a$
$4x+a$
$5x+a$
$6x+a$

Теперь 7 раз по 7 раз

Спасибо большое, вы мне очень помогли)