Волновое уравнение (метод Фурье)

[Katmandu]

Используя метод разделенных переменных (метод Фурье) , найти решение однородного волнового уравнения $u_{tt} = a^2 u_{xx} , 0 < x < l , t > 0 $ при следующих граничных и начальных условиях:
$ u_x(0,t) = u_x(l,t) = 0 , $
$ u(x, 0) = 1, u_t (x,0) = 1 $.

Решение:

$$ u(x,t) = X(x)T(t) $$

$$ \frac {T''(t)}{a^2 T(t)} = \frac {X''(x)} {X(x)} = \lambda $$

Получаем систему.

$$ \begin{cases} X''(x) - \lambda X(x) = 0\\ T''(t) - a^2 \lambda T(t) = 0 \end{cases} $$

Сперва ищем $X(x)$

Используя начальные условия получаем

$$ X'(0)T(t) = X'(l)T(t) = 0$$

так как $ T(t) \neq 0 $

$$ X'(0) = X'(l) = 0 $$

Далее рассматривают дифференциальный оператор ( я не знаю откуда он, просто пользуюсь)

$$ LX = AX'' + BX' + CX $$

Из него получают $A= 1, B = 0, C = 0$, и делают вывод: $ A>0, C = 0 $ значит $ \lambda = -\mu ^2 $ ( откуда получили лямбду, тоже не ясно )

Далее идут более менее понятные вещи:

$$ X''(x) + \mu ^2 X(x) = 0$$

$$ X(x) = C_1 \cos \mu x + C_2 \sin \mu x $$

Подставляя начальные условия находим :

$$ X'(0) = 0 = C_2 $$

$$ X'(l) = 0 = - C_1 \mu \sin \mu l $$

Так как решение не тривиально, то $C_1 = 1, \sin \mu l = 0 $ , откуда $\mu _k = \frac {\pi k} {l} $
Получаем :

$$ X_k(x) = \cos \mu_k x $$

Далее ищем $T(t)$:

$$ T''(t) + a^2 \mu_k T(t) = 0 $$

$$ T_k(t) = C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $$

В итоге получается

$$ u(x,t) = \sum^{\infty}_{k=0} u_k(x,t) = \sum^{\infty}_{k=0} {(C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t) X_k(x) } $$

Далее ищем $C_k$ используя начальные условия

$$ u(x,0) = 1 = \sum^{\infty}_{k=0} c_k X_k $$

$$ C_k = \frac 2 l \int_{0}^{l} \cos \frac {\pi k x} {l} dx = 0 $$

Но $ \sum^{\infty}_{k=0} c_k X_k = 1 $, что при $ C_k = 0 $ невозможно...

В чем же может быть ошибка?

[ewert]

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

$$ T_k(t) = C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $$

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

$$ C_k = \frac 2 l \int_{0}^{l} \cos \frac {\pi k x} {l} dx = 0 $$

А в каких пределах меняется $k$, как Вы полагаете?...

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

рассматривают дифференциальный оператор ( я не знаю откуда он, просто пользуюсь)

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

( откуда получили лямбду, тоже не ясно )

Это несерьёзно -- пытаться решать задачи в обезьяньем режиме. Постарайтесь всё-таки вчитаться в логику метода, никто за Вас здесь этого делать не будет.

[Katmandu]

ewert в сообщении #862793 писал(а):

А в каких пределах меняется $k$, как Вы полагаете?..

Я думаю что $k$ меняется от 0 до бесконечности.

ewert в сообщении #862793 писал(а):

Это несерьёзно -- пытаться решать задачи в обезьяньем режиме. Постарайтесь всё-таки вчитаться в логику метода, никто за Вас здесь этого делать не будет.

Не ясно, как зная, что $A > 0, C = 0$ сделали вывод, что $\lambda$ это отрицательное число.
Что такое $LX = AX''+BX' + CX $ понятно. Это $LX = X'' = \lambda X $

[ewert]

Katmandu в сообщении #862802 писал(а):

Я думаю что $k$ меняется от 0 до бесконечности.

Как ни странно, это правильно. Вот соответственно и прикиньте, насколько верно, что

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

$$ T_k(t) = C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $$

и

Katmandu в сообщении #862781 писал(а):

$$ C_k = \frac 2 l \int_{0}^{l} \cos \frac {\pi k x} {l} dx = 0 $$

[Katmandu]

ewert в сообщении #862807 писал(а):

Как ни странно, это правильно. Вот соответственно и прикиньте, насколько верно, что

Katmandu в сообщении #862781
писал(а):

$$ T_k(t) = C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $$

и

Katmandu в сообщении #862781
писал(а):

$$ C_k = \frac 2 l \int_{0}^{l} \cos \frac {\pi k x} {l} dx = 0 $$

________________

В формуле

$$ C_k = \frac 2 l \int_{0}^{l} \cos \frac {\pi k x} {l} dx = 0 $$

При $k = 0$ ,$ C_k = 2$
А в остальных случаях $C_k = 0$

Ряд фурье имеет вид $\frac {C_0} {2} + \sum^{\infty}_{k = 1} C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $

[ewert]

Katmandu в сообщении #862855 писал(а):

Ряд фурье имеет вид $\frac {C_0} {2} + \sum^{\infty}_{k = 1} C_k \cos a\mu_k t + D_k \sin a\mu_k t $

Нет, не имеет -- в нулевом случае дифур по времени получается другого типа.

[Katmandu]

Спасибо

[Otta]

Помнится, тогда, когда трава была зеленее))), на степень "всхожести" проверяли умением разлагать в ряд Фурье по периоду функцию $\sin^2 x$ устно. Но чтоб единицу... наверное, просто никто не додумался.

[Katmandu]

Otta в сообщении #862957 писал(а):

Помнится, тогда, когда трава была зеленее))), на степень "всхожести" проверяли умением разлагать в ряд Фурье по периоду функцию $\sin^2 x$ устно. Но чтоб единицу... наверное, просто никто не додумался.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #862957 писал(а):

Но чтоб единицу... наверное, просто никто не додумался.

Я б ещё хуже того сказал: решение исходной задачки очевидно даже и безо всяких фурьёв. Но не скажу, ибо это неспортивно.

[Katmandu]

ewert в сообщении #862966 писал(а):

Я б ещё хуже того сказал: решение исходной задачки очевидно даже и безо всяких фурьёв.

Действительно, особенно для того, кто хочет первый раз разобрать пример и действует по алгоритму.

[Otta]

Ну, это ничего)) действуйте.

[ewert]

(Оффтоп)

Katmandu в сообщении #862968 писал(а):

:facepalm:

я всего лишь имел в виду, что раз уж струна -- то полезно понимать и её физический смысл. А так да, следует действовать по шаблону, даже если понимаешь.