Геометрическая вероятность на отрезке

[aurus]

На отрезке $[0,5]$ случайно выбраны 2 точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превосходит 1.

Мой ход решения:
Исходов опыта бесчисленное множество. Исходы опыта равновозможны.
Пусть выбраны точки $a$ и $b$. Будем считать что $b>a$
Образуется три отрезка с длинами:
$a, b-a, 5-b$

Вероятность находится из отношения благоприятствующей длины к общей длине отрезка:
$P = \frac {[a,b]} {L} = \frac {[a,b]} {5}$

Дальше не знаю как построить ход решения и как пристроить расстояние отрезка не превосходящее 1.

[mihailm]

aurus в сообщении #862348 писал(а):

...Исходы опыта равновозможны...

Точно. Более того, все исходы имеют вероятность ноль)))

Две точки, $x$ и $y$, объединяете в пару $(x,y)$.
Когда каждая точка независимо пробежит отрезок от нуля до 5, что пробежит пара?

[aurus]

mihailm в сообщении #862371 писал(а):

Точно. Более того, все исходы имеют вероятность ноль)))
Две точки, $x$ и $y$, объединяете в пару $(x,y)$.
Когда каждая точка независимо пробежит отрезок от нуля до 5, что пробежит пара?

Не совсем понимаю что Вы имеете ввиду под вопросом "что пробежит пара?". Какое расстояние пробежит?

Помучился с задачей, получился ответ, но наверное не корректный. Не буду больше использовать буквы $a,b$, лучше перейти к $x,y$

Координаты точки $(x,y)$ удовлетворяют системе неравенств:
$0\leq x \leq 5$
$0\leq y \leq 5$
Это означает что точка $(x,y)$ наудачу выбирается из множества квадрата со стороной $a=5$. Если условие о расстоянии между точками не более 1 записать математически в виде неравенства:
$y-x<1 $
Получаем рисунок:

Откуда можно заметить, что благоприятствующая площадь - заштрихованная - $S_g$. Ёе площадь:
$S_g = S_{square} - S_{triangle} = a^2 - \frac {ab}{2} = 25 - \frac {4 \cdot 4}{2} = 17$
Искомая вероятность:
$P = \frac {S_g}{S_G} = \frac {17}{25} = 0.68$

[green_orange]

aurus в сообщении #862533 писал(а):

Если условие о расстоянии между точками не более 1 записать математически в виде неравенства:
$y-x<1 $

Это неравенство у вас в случае $y>x$, а квадрат почему-то весь,в том числе и точки, в которых это неверно.

[mihailm]

aurus в сообщении #862533 писал(а):

...Не совсем понимаю что Вы имеете ввиду под вопросом "что пробежит пара?". Какое расстояние пробежит?...

Я хотел услышать слово "квадрат"

aurus в сообщении #862533 писал(а):

...Если условие о расстоянии между точками не более 1 записать математически в виде неравенства:
$y-x<1 $...

Здесь модуль

Если у вы предполагаете (что допустимо), что игрек больше икс (тогда модуль не нужен), то рассматривайте треугольник

[aurus]

mihailm в сообщении #862537 писал(а):

aurus в сообщении #862533 писал(а):

...Если условие о расстоянии между точками не более 1 записать математически в виде неравенства:
$y-x<1 $...

Здесь модуль

Если у вы предполагаете (что допустимо), что игрек больше икс (тогда модуль не нужен), то рассматривайте треугольник

Тогда, условие задачи о расстоянии между точками не более 1 записывается двумя неравенствами:
$x-y<1$
$y-x<1$
Получается следующий рисунок:

Благоприятствующая площадь - заштрихованная:
$S_g = S_{square} - S_{triangle} - S_{triangle} = a^2 - \frac {4 \cdot 4}{2} - \frac {4 \cdot 4}{2} = 25- 8-8 =9$
Вероятность:
$P = \frac {S_g} {S_G} = \frac {9} {25} = 0.36$
Ничего не напутал?)

[mihailm]

Вроде верно)

[--mS--]

А что, задачу о встрече в курсах теории вероятностей перестали изучать?

[provincialka]

Ну, дык, надо же еще догадаться, что это она самая!

(Оффтоп)

Помнится, я ставила в тупик студентов следующим вопросом: Пусть ряд расходится, как ведет себя ряд из модулей?