Интеграл

[Joe Black]

Добрый день! Подскажите пожалуйста какой сделать шаг. Есть интеграл, беру по частям

$\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} dx = \sqrt{x^2+1} - \int \frac{x dx}{\sqrt{x^2+1}}+\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx $

Т.о. получается ерунда

[Otta]

Откуда оно у Вас такое взялось?

На корень умножьте числитель и знаменатель, открывайте любую шпаргалку по интегрированию иррациональностей и будет Вам щасте... наверное.

[Pphantom]

Joe Black в сообщении #861785 писал(а):

Добрый день! Подскажите пожалуйста какой сделать шаг. Есть интеграл, беру по частям

Странно Вы его как-то по частям берете... В общем-то шаг прост: при наличии конструкции вроде $\sqrt{x^2+1}$ прямо-таки напрашивается гипертригонометрическая замена $x=\sh\varphi$. Это не единственный возможный вариант, но...

[Joe Black]

взялось из задания по нахождению длины дуги $y=\ln x$

Цитата:

Pphantom Делал замену $x=\tg (t) $ получается $\int \sec^2(t) \cosec(t) dt$

[Pphantom]

Так тоже можно, но это не то, что я имел в виду.

[provincialka]

А просто как диф.бином? Корень обозначаем за $t$, интеграл рационализируется.

[Otta]

Ну он и без спецприемов хорошо считается.

[Joe Black]

provincialka в сообщении #861823 писал(а):

А просто как диф.бином? Корень обозначаем за $t$, интеграл рационализируется.

Действительно

[Joe Black]

Получилось

$\sqrt{x^2+1}+\frac12 \log\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}$

[provincialka]

При желании можно упростить второе слагаемое, если избавиться от иррациональности в знаменателе: $\sqrt{x^2+1}+ \ln\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{|x|}$