Поведение ряда с периодическими функциями

[Keter]

Как можно охарактеризовать сумму

$$\sum_{i=0}^n f(i)g(i),$$

где $f(x), g(x)$ -- непрерывные переодические функции с соизмеримыми периодами, например $\tau$ и $\eta$. Также известно, что если $h$ непрерывная, то

$$\int\limits_{a}^{b} h(x)f(nx)\, dx \to \frac{1}{\tau}\int\limits_{0}^{\tau} f(x)\, dx \int\limits_{a}^{b} h(x)\, dx, \quad n\to \infty.$$

Аналогично и для $g(x):$

$$\int\limits_{a}^{b} h(x)g(nx)\, dx \to \frac{1}{\eta}\int\limits_{0}^{\eta} g(x)\, dx \int\limits_{a}^{b} h(x)\, dx, \quad n\to \infty.$$

Интересно, когда можно зажать эту сумму между двумя сходящимися интегралами, чтобы при $n \to \infty$ сумма сходилась бы к чему-то?

Что можно сказать о рядах $\sum_{i=0}^n h(i)f(i)g(i), \sum_{i=0}^n h^2(i)f(i)g(i),$ к чему они сходятся, если это так?

Наиболее интересно, когда и к чему сходится разность

$$\int\limits_0^n f(x)g(x)\, dx - \sum_{i=0}^n f(i)g(i).$$

Какие общие рассуждения можно применить? Что из себя представляет сумма $\sum_{i=0}^n f(i)g(i)$ в геометрической интерпритации?

[Vince Diesel]

Keter в сообщении #861528 писал(а):

Наиболее интересно, когда и к чему сходится разность

$$\int\limits_0^n f(x)g(x)\, dx - \sum_{i=0}^n f(i)g(i).$$

Есть формула суммирования Эйлера-Маклорена. Там эта разность явно представляется через другие выражения.