Факторгруппа, изоморфизм.

[nosochego]

Добрый день.

Решаю следующую задачу:
Доказать, что факторгруппа $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ по ее центру изоморфна группе $A_5$.

Пока что только пришел к такому решению:
1. Определим единичный элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, как $E$,
а единичный элемент группы $A_5$ как $e$
2. Допустим, что существует такой гомоморфизм $f$ из $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ в $A_5$, при котором $f(E) = e, f(-E) = e$
3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$
Пусть $X$ - элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, $y$ - элемент группы $A_5$ такие, что $f(X) = y$.
$f(E \times X) = f(E) \cdot f(X) = e \cdot y = y$, $f(E \times X) = f(X) = y = y$.

По определению, такой гомоморфизм существует. (Вопрос: а имеет ли это утверждение смысл?)

Ядром гомоморфизма $f$ являются элементы $E, -E$

4. Центром группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ являются элементы $E, -E$.
Тогда по теореме о гомоморфизме (Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма) факторгруппа $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ по ее центру изоморфна $A_5$.

Скажите пожалуйста, правильны ли эти рассуждения?

[Sonic86]

nosochego в сообщении #861348 писал(а):

2. Допустим, что существует такой гомоморфизм $f$ из $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ в $A_5$, при котором $f(E) = e, f(-E) = e$
3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$

Это практически рассуждение вида "Пусть $f$ существует и обладает свойством $P$, тогда $f$ обладает свойством $P$".
Здесь надо можно проверить, является ли $\{E,-E\}$ нормальным делителем $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}_5)$, и если да, то что отсюда следует?

nosochego в сообщении #861348 писал(а):

3. Докажем, что такой гомоморфизм существует:
$f(E\times E) = f(E) \cdot f(E)= e\cdote = e$, $f(E\times E) = f(E) = e$
$f(-E\times E) = f(-E) \cdot f(E)=e\cdote = e$, $f(-E\times E) = f(-E) = e$
Пусть $X$ - элемент группы $SL_2(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$, $y$ - элемент группы $A_5$ такие, что $f(X) = y$.
$f(E \times X) = f(E) \cdot f(X) = e \cdot y = y$, $f(E \times X) = f(X) = y = y$.

Это рассуждение представляется как основное, но оно не содержит упоминания о специфике $A_5$. Есс-но, оно ничего не доказывает.

[nosochego]

То что $\{E, -E\}$ является нормальной подгруппой проверить легко, это центр группы, а он, если не ошибаюсь, всегда является и нормальной подгруппой.
Попробовал пойти через образующие.
Судя по википедии, порождающие группы $A_5$ это $(1 2), (2 3), (3 4), (4, 5) $
Т.е. и в группе $SL_2(\mathbb{Z}_5)$ тоже должно быть 4 образующих.
Я знаю образующие для группы $SL_2(\mathbb{Z})$ , это матрицы $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Будут ли эти матрицы образующими в $SL_2(\mathbb{Z}_5)$? Естественно, после взятия по модулю, т.е. получаем $\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
В общем, я несколько запутался в решении и, как мне кажется, пошел куда-то не туда.

(Оффтоп)

О решении в Богопольском знаю, просто хочу найти какое-нибудь другое

[Sonic86]

nosochego в сообщении #875616 писал(а):

Судя по википедии, порождающие группы $A_5$ это $(1 2), (2 3), (3 4), (4, 5) $

А Вы знаете, что такое $A_5$?

nosochego в сообщении #875616 писал(а):

Я знаю образующие для группы $SL_2(\mathbb{Z})$ , это матрицы $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

А точно? Знаю, что она порождается трансвекциями, их всего будет 2 штуки. Ну если 1-ю матрица выражается через трансвекции и наоборот, то да.

nosochego в сообщении #875616 писал(а):

Будут ли эти матрицы образующими в $SL_2(\mathbb{Z}_5)$?

Ну ответ очевиден.

nosochego в сообщении #875616 писал(а):

В общем, я несколько запутался в решении и, как мне кажется, пошел куда-то не туда.

Ну как бы Вы еще никуда не дошли. Вы выберите стратегию сначала, как Вы будете доказывать? Если Вы думаете, что эти 2 матрицы по модулю 5 породят $A_5$, то как Вы это можете проверить? Ну полным перебором всех элементов, правда, их много будет. Попытайтесь подгруппы какие-нибудь найти, порядки элементов.

(Оффтоп)

nosochego в сообщении #875616 писал(а):

О решении в Богопольском знаю, просто хочу найти какое-нибудь другое

Пробуйте, воля Ваша, оно существует, т.к. в конце концов перебор общедоступен.

[takeover]

Если бы знаете про проективное пространство(в данном случае будет $P\mathbb{F}_{5}^{1}$), то можете попробовать показать, что $SL_2(\mathbb{F}_{5})$ - представление $A_5$
Ну там найти элементы на котороые она действует и ее порядок, например.

[takeover]

Конечно же я имел ввиду фактор $SL_2(\mathbb{F}_{5})/Z(SL_2(\mathbb{F}_{5}))$ в своем сообщении, а не просто $SL_2(\mathbb{F}_{5})$.

[nosochego]

А не могли бы вы подсказать, как выглядят элементы этого проективного пространства?