Иррациональное уравнение

[Heart-Shaped Glasses]

Неожиданно столкнулся с проблемой при решении иррационального уравнения:

$\sqrt[4] {x-1,5}+\sqrt[4] {10-x}=2$

Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить. Я пробовал сделать такую замену, которая бы привела к решению "в лоб", но мне кажется, что это не совсем то:

$y=\sqrt[4] {x-1,5}$

Тогда в итоге всё сведётся к:

$ \begin{cases} 4y^4-16y^3+48y^2-64y+15=0\\ 2-y\geqslant0\\ y=\sqrt[4] {x-1,5} \end{cases} $

Наверное, решение уравнения четвёртой степени в лоб — не самый рациональный способ, но что-то другое придумать пока не удалось. Может, как-то пытаться оттолкнуться от того, что сумма выражений под корнями равна константе? Непонятно.
Если кто-то знает решение, то прошу подсказать или намекнуть на него.
Заранее спасибо.

[ewert]

Heart-Shaped Glasses в сообщении #860704 писал(а):

Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить.

Это какой-то специфический трюк, а всех трюков, замысленных авторами, не предугадаешь. Скорее всего, предполагалось обозначить эти два корня через $u$ и $v$, к примеру. Тогда сумма этих двух новых переменных есть вполне определённое число, и сумма их четвёртых степеней аналогично. И если вычесть из суммы четвёртых степеней четвёртую степень суммы, то почти сразу получается квадратное уравнение для произведения $uv$, после чего практически всё ясно.

[Алексей К.]

А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$? Может, прикол всего лишь в этом, или это подскажет, где прикол...

[ewert]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #860710 писал(а):

А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$?

Боюсь, что нормальному человеку этого заметить невозможно.

[Heart-Shaped Glasses]

ewert в сообщении #860709 писал(а):

Heart-Shaped Glasses в сообщении #860704 писал(а):

Задание размещено в разделе "Введение дополнительных переменных", но что-то я не совсем понимаю, что тут нужно ввести/заменить.

Это какой-то специфический трюк, а всех трюков, замысленных авторами, не предугадаешь. Скорее всего, предполагалось обозначить эти два корня через $u$ и $v$, к примеру. Тогда сумма этих двух новых переменных есть вполне определённое число, и сумма их четвёртых степеней аналогично. И если вычесть из суммы четвёртых степеней четвёртую степень суммы, то почти сразу получается квадратное уравнение для произведения $uv$, после чего практически всё ясно.

Если я вас правильно понял, то:
Пусть $u=\sqrt[4] {x-1,5}, v=\sqrt[4] {10-x}$. Тогда:

$ \begin{cases} u+v=2\\ u^4+v^4=8,5 \end{cases} $

Вычитая, получаем следствие:

$u^4+v^4-(u+v)^4=8,5-2^4$

Приводя подобные:

$4u^3v+6u^2v^2+4uv^3+7,5=0$

Квадратное относительно $uv$ как-то так должно выглядеть?

$6(uv)^2+4(u^2+v^2)uv+7,5=0$

Наверное, я что-то перепутал, потому как оно, эммм, плохо решается...
Из-за этого я попробовал немного по-другому:

$u^4+v^4=(u^2+v^2)^2-2u^2v^2=((u+v)^2-2uv)^2-2u^2v^2=8,5$

Из той системы $u+v=2$, подставляю, получаю квадратное на $uv$ (как вы и говорили):

$(2^2-2uv)^2-2u^2v^2=8,5$

$2(uv)^2-16uv+7,5$

$(uv-15/2)(uv-1/2)=0$

Вот. А отсюда уже вернуться к $x$...
Спасибо за помощь!

Алексей К. в сообщении #860710 писал(а):

А Вы заметили, что Ваше уравнение $4y^4+\ldots=0$ раскладывается на множители $(2y^2-4y+1)(2y^2-4y+15)=0$? Может, прикол всего лишь в этом, или это подскажет, где прикол...

(Оффтоп)

Честно говоря, я пока не знаю, как это можно заметить (без компьютера).

[ewert]

Heart-Shaped Glasses в сообщении #860727 писал(а):

Приводя подобные:

$4u^3v+6u^2v^2+4uv^3+7,5=0$


Квадратное относительно $uv$ как-то так должно выглядеть?

$6(uv)^2+4(u^2+v^2)uv+7,5=0$


Наверное, я что-то перепутал, потому как оно, эммм, плохо решается...

Ну я имел в виду совершенно напрашивающееся от этой точки соображение: ведь $(u+v)^2$ Вам тоже известно... После чего и остаётся автоматом всего лишь $uv$. Кстати, этот трюк, в отличие от введения двух переменных -- шаблонен уже абсолютно.

[Heart-Shaped Glasses]

ewert
А-а, понял, странно, что там я не догадался от $u^2+v^2$ избавиться... Буду знать!