Эквивалентность квадратичных форм.

[SlayZar]

Добрый вечер!
Требуется выяснить, являются ли квадратичные формы $f$, $g$ и $h$ эквивалентными и если да, то найти линейную замену координат, переводящую одну форму в другую.
$f(x)=-x_1^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3-2x_3^2$

$g(x)=3y_1^2+26y_1y_2+10y_1y_3+7y_2^2+14y_2y_3+3y_3^2$

$h(x)=5z_1^2+10z_1z_2-8z_1z_3+6z_2^2-6z_2z_3-3z_3^2$

Эквивалентное преобразование не меняет определителя матрицы квадратичной формы, то есть необходимое условие эквивалентности двух квадратичных форм является равенство их детерминантов.
Тогда запишем матрицы квадратичных форм и найдём их определители:
$det\ F = det \begin{pmatrix} -1 & -1& -1 \\ -1 & 0& -1 \\ -1 & -1& -2 \\ \end{pmatrix} = 1$
$det\ G = det \begin{pmatrix} 3 & 13& 5 \\ 13 & 7& 7 \\ 5 & 7& 3 \\ \end{pmatrix} = 144$
$det\ H = det \begin{pmatrix} 5 & 5& -4 \\ 5& 6& -3 \\ -4 & -3& -3 \\ \end{pmatrix} = -36$
Все определители различны.
Тогда получается, что среди данных квадратичных форм нет эквивалентных. Это правильно? Ведь в условии задачи вроде бы подразумевается, что мы должны найти хотя бы одну эквивалентную пару...

[svv]

В моем справочнике то, что Вы называете эквивалентностью, называется подобием. Правда, указывается, что иногда это и эквивалентностью называют. А эквивалентны матрицы $A$ и $B$ одного и того же размера (необязательно квадратные) тогда, когда $B=SAT$, где $S$ и $T$ невырождены.

-- Вт май 06, 2014 01:01:34 --

И у Гантмахера тоже $A$ и $B=T^{-1}AT$ называются подобными.

[korobka]

SlayZar

Молодой человек, Вы так все домашние контрольные работы делаете? Вроде бы Высшая школа экономики, ну.

[SlayZar]

svv в сообщении #859619 писал(а):

В моем справочнике то, что Вы называете эквивалентностью, называется подобием. Правда, указывается, что иногда это и эквивалентностью называют. А эквивалентны матрицы $A$ и $B$ одного и того же размера (необязательно квадратные) тогда, когда $B=SAT$, где $S$ и $T$ невырождены.

-- Вт май 06, 2014 01:01:34 --

И у Гантмахера тоже $A$ и $B=T^{-1}AT$ называются подобными.

Да, я брал информацию с википедии на странице квадратичных форм. Там тоже приведена эта формула, а ниже написано, что определитель должен быть одинаков.
Просто не совсем понятно, как эта формула поможет доказать, что квадратичные формы не эквивалентны...

[svv]

А квадратичные формы эквивалентны, когда их матрицы $A$ и $B$ связаны соотношением $B=S^{T}AS$, где $S$ невырожденная матрица. Поэтому никакого требования равенства определителей нет.

[SlayZar]

То есть это неверно в данном случае?

И как тогда определить какие матрицы эквивалентны? Найти такую матрицу $S$ чтобы было выполнено соотношение $B=S^{T}AS$ ?

[svv]

Критерий эквивалентности действительных квадратичных форм.
Совпадение рангов и положительных индексов инерции является необходимым и достаточным условием эквивалентности действительных квадратичных форм. (Милованов, Алгебра и аналитическая геометрия)

-- Вт май 06, 2014 01:57:45 --

Ну, и если для каждой из двух эквивалентных форм известно преобразование, приводящее её к нормальному виду, то нетрудно получить и такое преобразование, которое переводит одну форму в другую.

[Deggial]

SlayZar, замечание за неоформление формул $\TeX$ом

[Dinozavr_v_n0skax]

(Оффтоп)

korobka
А разве в Высшей школе экономике запрещено пользоваться форумами? Насколько я знаю, пользоваться подобными ресурсами не запрещается, это личное дело каждого. Более того вы прекрасно знаете, что на форуме никто решать за вас не будет, а будут лишь подводить к решению, что же тут плохого? Возможно, ТС и сам считает, что таким действием портит репутацию ВШЭ - он ведь не написал в своем профиле "из ВШЭ". В конце концов в ВШЭ проходной балл на мат. специальности был не 300 и даже не за 290, так что не все студенты там одаренные, есть и среднестатистические студенты, к которым, возможно, и относится ТС

[Limit79]

(Оффтоп)

Dinozavr_v_n0skax в сообщении #860416 писал(а):

korobka
А разве в Высшей школе экономике запрещено пользоваться форумами? Насколько я знаю, пользоваться подобными ресурсами не запрещается, это личное дело каждого. Более того вы прекрасно знаете, что на форуме никто решать за вас не будет, а будут лишь подводить к решению, что же тут плохого? Возможно, ТС и сам считает, что таким действием портит репутацию ВШЭ - он ведь не написал в своем профиле "из ВШЭ". В конце концов в ВШЭ проходной балл на мат. специальности был не 300 и даже не за 290, так что не все студенты там одаренные, есть и среднестатистические студенты, к которым, возможно, и относится ТС

+1