2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:20 
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимость интеграл $$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\ln(x)}$$

Понятно, что $$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\ln(x)} = \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)} + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\ln(x)}$$

Пробовал использовать эквивалентно бесконечно малые, но так до конца и не дошел :-(

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:23 
Аватара пользователя
Пробовал использовать эквивалентно бесконечно малые, но так до конца и не дошел :-(
Что так? Путь-то недальний.
Первый вопрос: где у этого интеграла особенность?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:24 
provincialka в сообщении #859172 писал(а):
Первый вопрос: где у этого интеграла особенность?

Дополнил стартовый пост.

Особенности при $x=0$ и при $x=1$.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:29 
Аватара пользователя
Особенности при $x=0$ и при $x=1$.
Не совсем так. Особенность функции не всегда является особенностью интеграла. Так что одна точка лишняя.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:39 
$$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\ln(x)} = \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)} + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\ln(x)}$$

Исследуем на сходимость $\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)}$

Заметим, что $\ln(x) = \ln(1+(x-1)) \sim x-1$ при $x \to 1$

Известно, что интеграл $\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{x-1}$ расходится.

Вычислим предел $$\lim\limits_{x \to 1-0} \left ( \frac{\frac{1}{\ln(x)}}{\frac{1}{x-1}} \right ) = \lim\limits_{x \to 1-0} \left ( \frac{x-1}{\ln(x)} \right ) = \lim\limits_{x \to 1-0} \left ( \frac{1}{\frac{1}{x}} \right ) = \lim\limits_{x \to 1-0} \left ( x ) = 1$$

То есть интеграл $\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\ln(x)}$ расходится, следовательно, исходный интеграл тоже расходится.

Как-то так? :|

-- 05.05.2014, 00:41 --

provincialka в сообщении #859178 писал(а):
Особенность функции не всегда является особенностью интеграла. Так что одна точка лишняя.

Лишняя, наверное, $x=0$. А как тогда определить особенность интеграла? (я всегда думал, что это особенности подынтегральной функции).

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:47 
Аватара пользователя
Да, так, только зачем вы еще предел брали? У вас так сформулирована теорема? Вообще-то достаточно эквивалентности.

Что касается особенностей. Интеграл - штука демократичная, он не требует от подынтегральной функции непрерывности. Так что разрыв первого рода - не особенность. Несобственным интеграл становится, если подынтегральная функция неограничена. Ну, а в точке $x=0$ она стремится к 0.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение04.05.2014, 23:52 
provincialka в сообщении #859199 писал(а):
Да, так, только зачем вы еще предел брали? У вас так сформулирована теорема? Вообще-то достаточно эквивалентности.

На самом деле это я у Кудрявцева прочитал :-) Это, насколько я понимаю, следствие из признака сравнения.

provincialka в сообщении #859199 писал(а):
Что касается особенностей. Интеграл - штука демократичная, он не требует от подынтегральной функции непрерывности. Так что разрыв первого рода - не особенность. Несобственным интеграл становится, если подынтегральная функция неограничена. Ну, а в точке $x=0$ она стремится к 0.

Спасибо, вроде более-менее понял.

-- 05.05.2014, 00:56 --

provincialka

(Оффтоп)

Изображение

Вы про это имели ввиду?

До конца-то я не дочитал :facepalm:

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:02 
Аватара пользователя
Про это.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:08 
provincialka
Понял, спасибо!

А не подскажите, сходимость $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^3+1}$ следует из сходимости $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}$, так как $\frac{1}{x^3+1}\leqslant \frac{1}{x^2+1}$ при $x \in [0;\infty)$ ?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:14 
Limit79, Разве неравенство справедливо на всем указанном интервале?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:14 
Limit79
Следует, только вот $\[\frac{1}{{{x^3} + 1}} \le \frac{1}{{{x^2} + 1}}\]$ при $\[x \in [1,\infty )\]$. При $\[x \in [0,1)\]$ знак другой, но там, очевидно, интеграл конечен и на сходимость это никак не влияет.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:15 
Аватара пользователя
Следует. Правда это неравенство выполняется только при $x\ge1$, но этого вполне достаточно. Впрочем, для исследования можно использовать и эквивалентность. Все сводится к тому, что степень в знаменателе имеет показатель, больший 1.
уже ответили, ну ладно...

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 00:23 
Ms-dos4
provincialka
_Ivana
Понял, спасибо.

-- 05.05.2014, 01:54 --

Хотя не до конца понял :|

Ms-dos4 в сообщении #859221 писал(а):
При $\[x \in [0,1)\]$ знак другой, но там, очевидно, интеграл конечен и на сходимость это никак не влияет.

Какой интеграл конечен? И почему достаточно того, что $\frac{1}{x^3+1} \leqslant \frac{1}{x^2+1}$ на $[1;\infty)$?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 09:26 
Аватара пользователя
 !  Limit79, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение05.05.2014, 12:47 
Аватара пользователя
Конечен интеграл на промежутке $[0; 1]$. Он собственный. Поэтому вполне достаточно исследовать интеграл на $[1;+\infty)$

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group