Стохастическая динамическая система

[MaxWriter]

Здравствуйте, уважаемые учасники форума. Помогите, пожалуйста, проверить правильности решения задачи.

Пусть $V=Z/pZ$ и $g:V\rightarrow V$ некоторое отображение и $f^{g}:V\times V \rightarrow V $ отображение, которое задается так:

$$f^{g}(x,\theta)=g(z)+\theta. $$

Пусть также $(V,2^{V},m) $ - вероятностное пространство с равномерной вероятностной мерой $m$.

Далее, пусть $(\theta_n)_{n\geqslant 0}$- последовательность независимых, одинаково $m-$распределеных на $V$ случайных величин. Для $i \in V$ пусть $(X_{n}^{g,i})_{n\geqslant 0}$ - последовательность случайных величин, которая задана так:

$$X_{n+1}^{g,i}=f^{g}(X_{n}^{g,i},\theta_{n+1}), X_{0}^{g,i}=i.$$

Показать, что для этой последовательности $X_{n}^{h,i}$

$\forall (i,j) \in V^2 , Q_{g}(i,j)=m(\{j\})$, где $Q_{g}(i,j)$ - вероятность перейти из состояния $i$ в состояние $j$ за один шаг.

Из определения $V=\{{0,1,2,...p-1}\}$. Тогда для любого $i \in V, m(\{i\})=\frac{1}{p}$. И тогда по определению $Q_{g}(i,j)$ имеем:

$Q_{g}(i,j)=P(X_{n+1}^{g,i}=j|X_{n}^{g,i}=i)=P(g(X_{n}^{g,i})+\theta_{n+1}=j|X_{n}^{g,i}=i)=P(g(i)+\theta_{n+1}=j|X_{n}^{g,i}=i)=P(\theta_{n+1}=j-g(i)).$

Но последнее выражение равно $\frac{1}{p}$, так как вероятностная мера равномерная и, следовательно, $P(\theta_{n+1}=j-g(i))=m(\{j\})=Q_{g}(i,j)$

Правильно, или где-то есть пробел в рассуждениях?

[MaxWriter]

Не могу разобраться, решение кажется правильным, но каким-то очень простым.

Также интересует такой вопрос по поводу этой же задачи: будут ли при данных условиях величины $(X_{n}^{g,i})$ независимыми в совокупности и одинаково распределены? Думаю, что да, но как это доказать?

[Lia]

MaxWriter
Замечание за искусственный подъем темы.

[--mS--]

Вот зачем такие безумные обозначения? По-русски: есть вероятностное пространство $\langle V, \,2^V, \, m\rangle$, где $V=\{0,1,\ldots, p-1\}$, $m(i)=\frac1p$ для всех $i\in V$. Есть отображение $g:V \to V$ и последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин $\{\theta_n\}$ на этом вероятностном пространстве. Последовательность $\{X_n\}$ задаётся как

$$X_{n+1}=g(X_n)+\theta_{n+1} \mod p, \quad X_0 = i\in V.$$

Видимо, начальное значение $X_0$ неслучайно? Ну и далее по тексту.

Факт, который Вы доказываете, верен если и только если величины $\theta_n$ равномерно распределены на $V$: $\mathsf P(\theta_n=i)=\frac1p$ для всех $i\in V$. Из равномерности меры $m$ это никак не следует - возьмите $\theta_n(i)=0$ для $i=0,\ldots,p-2$ и $\theta_n(i)=1$ для $i=p-1$ и посмотрите на последовательность $\{X_n\}$.

(Оффтоп)

Как вариант, если $\theta_n$ - постоянные, то переходные вероятности равномерны при начальном условии $X_0$, равномерно распределённом на $V$.

Независимость имеет место при том же условии и проверяется непосредственно - рассмотрите $\mathsf P(X_n=k_n,\,\ldots,X_1=k_1)$, распишите и получите произведение вероятностей.