Решить систему дифференциальных уравнений.

[Firth]

Немного запамятовал как решать подобные системы.

$$ \begin{cases} \dot{x}=2x+y\\ \dot{y}=x+3y-z\\ \dot{z}=2y+3z-x \end{cases} $$

Насколько я помню нужно составить характеристическую матрицу, найти ее определить, получится характеристический многочлен, корни его дадут нам общее решение, вот дальше не помню что делать... Ну давайте попробуем.

1) Характеристическая матрица

$$ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & -1 \\ -1 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} $$

Dторую строку сложим с первой чтобы можно было разложить.

$$ \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & -1 \\ 0 & 5-\lambda & 2-\lambda \end{vmatrix} $$

Теперь найдем определитель.

$$(2-\lambda)\cdot\begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ 5-\lambda & 2-\lambda \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5-\lambda & 2-\lambda \end{vmatrix}=(2-\lambda)((3-\lambda)(2-\lambda)+(5-\lambda))-2(2-\lambda)$$

$$(2-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+6+5-\lambda-2)=(2-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+9)$$

Теперь найдем корни:

$$\lambda_1=2\qquad\lambda_2=3\qquad\lambda_3=3$$

Значит общее решение уравнения будет иметь вид:

$$ \begin{cases} x(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3te^{3t}\\ y(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3te^{3t}\\ z(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{3t}+C_3te^{3t} \end{cases} $$

Все ли правильно до сих пор?


Вот собственно вопрос в отыскании $C_1,C_2,C_3$ Можно просто продифференцировать общее решение и подставить в исходные уравнения, но мне не хочется этого делать, можно ли как-то проще?
Я помню должен быть способ.

[_Ivana]

Firth в сообщении #858571 писал(а):

Все ли правильно до сих пор?

Нет. Вспоминайте (ищите в литературе/интернете) запись общего решения.

[Otta]

Firth в сообщении #858571 писал(а):

Все ли правильно до сих пор?

Нет. Собственные значения надо найти, Вы нашли, но это не все. Нужны еще и собственные (и присоединенные, если есть) вектора. А пока у Вас получилось, что $x\equiv y\equiv z$, что заведомо неверно.

Firth в сообщении #858571 писал(а):

Вот собственно вопрос в отыскании $C_1,C_2,C_3$ Можно просто продифференцировать общее решение и подставить в исходные уравнения, но мне не хочется этого делать, можно ли как-то проще?
Я помню должен быть способ.

Общее решение системы порядка $n$ обязательно зависит от $n$ произвольных постоянных. Так что избавляться от постоянных в ответе не надо. Другое дело, что ответ будет не таким.
----
Как вариант: можно не искать собственные вектора, но тогда записать в каждом решении свой набор произвольных постоянных и, подставив в уравнение, найти соотношение между ними. Результат не должен измениться и будет по-прежнему зависеть от 3 констант.
Но это более громоздкий вариант.

[Firth]

Хорошо, спасибо за ответ, сейчас найду собственные вектора:

Пусть $\lambda=2$ тогда

$$ \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$

чему соответствует система:

$$ \begin{cases} \alpha_2=0\\ \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0\\ -\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=0 \end{cases} $$

Отсюда легко найти собственный вектор

$$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}$$

А для числа $\lambda=3$

$$ \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} $$

$$ \begin{cases} -\alpha_1+\alpha_2=0\\ \alpha_1-\alpha_3=0\\ -\alpha_1+2\alpha_2=0 \end{cases} $$

$\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$

Отсюда собственный вектор

$$\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$$

Мне мало того что не нравится последний собственный вектор, так я не знаю как быть дальше.

[Otta]

Собственные вектора ненулевые по определению.

[Nemiroff]

Неправильные собственные значения.
Вы как-то странно детерминнат находите — вроде бы по строке раскладываете, а вроде бы и нет.

[Sinoid]

Как вариант: ищем $\ddot{x}$ и $\dddot{x}$ и из системы, состоящей из первого и полученных уравнений, исключаем $x$ и $y$.