Где может быть ошибка в решении ДУ?

[dinamo-3]

Нужно решить диф.уравнение: $3y(y')^2+7(y')^3+11y''(y')^2-2y''y^2=0$
Решение :
Заменим $y'=p$,   $y''=p\frac{dp}{dy}$,   получим: $3yp^2+7p^3+11p\frac{dp}{dy}p^2-2p\frac{dp}{dy}y^2=0$

Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Получим квадратное уравнение: $\frac{11}{3}p^2+7yp+\frac{1}{2}y^2=0$

Решим квадратное уравнение
Найдём дискриминант: $D=49y^2-4\cdot\frac{11}{3}\cdot(-\frac{1}{2}y^2)=\frac{169y^2}{3}$
Корни квадратного уравнения:

$$p_{1,2}=\frac{-7y\pm\sqrt{\frac{169y^2}{3}}}{2\cdot\frac{11}{3}}=\left (\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22}\right )\cdot y$$

Проведём обратную замену: $p=y'=\frac{dy}{dx}=y\cdot \left (\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22}\right )$

Разделяем переменные и интегрируем: $\int\frac{dy}{y}=\int(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})dx$
$\ln|y|=(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})\cdot x+C_1$
$y=C_1\cdot e^{(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})\cdot x}$
Для упрощения заменим $(\frac{-21\pm 13\sqrt{3}}{22})=t$
Тогда $y=C_1\cdot e^{tx}$,     $y'=C_1\cdot t\cdot e^{tx}$,     $y''=C_1\cdot t^2\cdot e^{tx}$
Проведём проверку подставляя $y$, $y'$, $y''$ в усходное диф.уравнение и ... ничего не получается

[iifat]

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим переменные

Нет, то, что вы проделали — это не разделение переменных.

[dinamo-3]

iifat в сообщении #856613 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим переменные

Нет, то, что вы проделали — это не разделение переменных.

В этом ошибка?

[iifat]

В чём ошибка — глубокий философский вопрос с неоднозначным ответом. Но если вы пишете "разделим переменные", а сами не разделили — какие ещё могут быть вопросы по решению?

[ewert]

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Это уравнение относится к классу однородных, поэтому переменные действительно разделяются; только отнюдь не сразу, а лишь после соответствующей подстановки.

[Алексей К.]

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Имхо, $\int[2y(p)^2-11p^2]dp\not=2y(p)^2p-\frac{11}{3}p^3 $

[dinamo-3]

Алексей К. в сообщении #857035 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим переменные и выражения под интеграл: $\int(3yp+7p^2)dy=\int(2y^2-11p^2)dp$

Проинтегрируем: $\frac{3}{2}y^2p+7yp^2=2y^2p-\frac{11}{3}p^3$

Имхо, $\int[2y(p)^2-11p^2]dp\not=2y(p)^2p-\frac{11}{3}p^3 $

Согласен. У меня ошибки начались, как только начал "разделять переменные".

-- 01.05.2014, 15:44 --

ewert в сообщении #856717 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #856606 писал(а):

Разделим всё на $p$, вынесем за скобки $\frac{dp}{dy}$ и перенесём вправо: $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$

Это уравнение относится к классу однородных, поэтому переменные действительно разделяются; только отнюдь не сразу, а лишь после соответствующей подстановки.

Я заменил $p$ на $ty$. Потом нашёл $p'=t'y+t$. Далее всё подставил в $3yp+7p^2=\frac{dp}{dy}(2y^2-11p^2)$ и получил:

$$\frac{dy}{y}=\frac{(2-11t^2)dt}{t(11t^2+7t+1)}$$

Затем выражение в правой части методом неопределённых коэффициентов разделил на элементарные дроби. Далее проинтегрировал и получил:

$$\ln|y|+\ln(C_1)=\frac{2\ln|t|}{m_1\cdot m_2}+\frac{2-11m^2_1}{m_1\cdot(m_1-m_2)}\cdot\ln|t-m_1|+\frac{11m^2_2-2}{m_2\cdot(m_1-m_2)}\cdot\ln|t-m_2|$$

где $m_1=\frac{-7-\sqrt{5}}{22}$, а $m_2=\frac{-7+\sqrt{5}}{22}$   - корни $11t^2+7t+1=0$
Такое сложное, а ведь ещё делать обратную замену $t\rightarrow p\rightarrow y'\rightarrow y$
Возможно, я неверную замену подобрал $p=ty$ ?
А есть ли какое-нибудь правило выбора замены? Как её подбирают?

[ewert]

dinamo-3 в сообщении #857649 писал(а):

А есть ли какое-нибудь правило выбора замены?

Вот ровно такое и есть. А уж там что выйдет -- то и выйдет (арифметику не проверял). Можете ещё попробовать наоборот -- сделать аналогичную подстановку не для $\frac{dp}{dy}$, а для $\frac{dy}{dp}$, авось что попроще получится (хотя принципиально это, конечно, ничего не изменит).

[dinamo-3]

ewert в сообщении #857716 писал(а):

dinamo-3 в сообщении #857649 писал(а):

А есть ли какое-нибудь правило выбора замены?

Вот ровно такое и есть. А уж там что выйдет -- то и выйдет (арифметику не проверял). Можете ещё попробовать наоборот -- сделать аналогичную подстановку не для $\frac{dp}{dy}$, а для $\frac{dy}{dp}$, авось что попроще получится (хотя принципиально это, конечно, ничего не изменит).

$(3yp+7p^2)\frac{dy}{dp}=2y^2-11p^2$
Замена: $y(p)=tp,     y'(p)=(tp)'=t'p+t$
Теперь подставим в уравнение: $(3tpp+7p^2)\cdot(t'p+t)=2t^2p^2-11p^2$
Делим на $p^2$ и получим: $(3t+7)\cdot(t'p+t)=2t^2-11$
Преобразуем: $t'p=\frac{2t^2-11}{3t+7}-t=\frac{-t^2-7t-11}{3t+7}$
$\frac{dt}{dp}p=-\frac{t^2+7t+11}{3t+7}$

$$-\frac{dp}{p}=\frac{(3t+7)dt}{t^2+7t+11}$$

Выражение в правой части преобразуем в элементарные дроби (методом неопределённых коэффициентов) :

$$\frac{(3t+7)dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$

где $m_1$ и $m_2$ - корни квадратного уравнения $t^2+7t+11=0$
Проинтегрируем : $-\int \frac{dp}{p}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\int\frac{dt}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\int\frac{dt}{t-m_1}$ и получим :

$$-\ln|p\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln|t-m_1|+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln|t-m_2|$$

Делаем обратную замену $t=\frac{y}{p}$ :

$$-\ln|p\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln\left |\frac{y}{p}-m_1\right |+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln\left |\frac{y}{p}-m_2\right |$$

Делаем обратную замену $p=y'$ :

$$-\ln|y'\cdot C_1|=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\ln\left |\frac{y}{y'}-m_1\right |+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\ln\left |\frac{y}{y'}-m_2\right |$$

И получилось дифференциальное уравнение.
Где могут быть ошибки? Или всё правильно и начинать по второму кругу?

[iifat]

Похоже на правду, хотя кропотливо проверять — увольте. И получилось, вполне естественно, дифференциальное уравнение. И решабельным быть оно, собственно, не обязано.

[dinamo-3]

iifat в сообщении #858235 писал(а):

Похоже на правду, хотя кропотливо проверять — увольте. И получилось, вполне естественно, дифференциальное уравнение. И решабельным быть оно, собственно, не обязано.

Получается тупик? И   $y$   из этого решения найти невозможно?

[Ms-dos4]

dinamo-3
Что значит тупик? В неявном виде вы решение нашли (если конечно всё верно сосчитали). Явно, конечно, выразить его не удастся.

[Алексей К.]

От логарифмов в последней версии, наверное, стоит избавиться.

И, как обычно, возникает вопрос: задача учебная, или жизнь так сложилась?
В первом случае обычно советуют искать опечатку в условии задачи, во втором --- изучают условия жизни, сопутствующие данному ДУ. Но как бы всё не так плохо выглядит.

-- 04 май 2014, 12:26:31 --

Кажись, ошибочку увидел... Проверю ещё, однако.

-- 04 май 2014, 12:31:53 --

Имхо, нехорошо писать знаменатель одной дроби как $m_1-m_2$, а соседней --- $m_2-m_1$. Это напрягает читателя, провоцирует ошибки.

-- 04 май 2014, 12:38:03 --

Нет, проверьте, пожалста, сами:

dinamo-3 в сообщении #858233 писал(а):

$$\frac{(3t+7)\text{\color{red}\bf---}\!\!\!\!\!dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$

(зачёркнутое зачёркнуто мной, А.К.).

-- 04 май 2014, 12:54:32 --

Заметил, что Вы изменили значения $m_{1,2}$, но явно выписали лишь в первый раз. Я поискал по тексту $m_{1,2}$, увидел, и их применял. А оно уже не так.

[dinamo-3]

Алексей К. в сообщении #858789 писал(а):

От логарифмов в последней версии, наверное, стоит избавиться.

И, как обычно, возникает вопрос: задача учебная, или жизнь так сложилась?
В первом случае обычно советуют искать опечатку в условии задачи, во втором --- изучают условия жизни, сопутствующие данному ДУ. Но как бы всё не так плохо выглядит.

-- 04 май 2014, 12:26:31 --

Кажись, ошибочку увидел... Проверю ещё, однако.

-- 04 май 2014, 12:31:53 --

Имхо, нехорошо писать знаменатель одной дроби как $m_1-m_2$, а соседней --- $m_2-m_1$. Это напрягает читателя, провоцирует ошибки.

-- 04 май 2014, 12:38:03 --

Нет, проверьте, пожалста, сами:

dinamo-3 в сообщении #858233 писал(а):

$$\frac{(3t+7)\text{\color{red}\bf---}\!\!\!\!\!dt}{t^2+7t+11}=\frac{3m_1+7}{m_1-m_2}\cdot\frac{1}{t-m_1}+\frac{3m_2+7}{m_2-m_1}\cdot\frac{1}{t-m_2}$$

(зачёркнутое зачёркнуто мной, А.К.).

-- 04 май 2014, 12:54:32 --

Заметил, что Вы изменили значения $m_{1,2}$, но явно выписали лишь в первый раз. Я поискал по тексту $m_{1,2}$, увидел, и их применял. А оно уже не так.

1. Задача эта не учебная, а рабочая (из электротехники), поэтому может быть и не решаемая.
2. Верно, $dt$ не нужно, там где дробь раскладывается на элементарные дроби.
3. Если убрать логарифмы, то получится:

$$\frac{1}{y'C_1}=\left (\frac{(\frac{y}{y'}-m_1)^{3m_1+7}}{(\frac{y}{y'}-m_2)^{3m_2+7}}\right )^{\frac{1}{m_1-m_2}}$$