расчёт параметризованн. алгебраических кривых у особых точек

[histrix]

У меня параметризованная алгебраическая кривая вышла из решения линейной системы с двумя неизвестными (x и y) по правилу Крамера:

$ x(t)=\frac{A(t)}{D(t)} $
$ y(t)=\frac{B(t)}{D(t)} $

Соответсвенно, многочлены $A(t), B(t)$ и $D(t)$ суть раскрытые определители линейной системы. При некоторых t все три определителя обращаются в ноль. Тогда кривая переходит в явно заданную прямую.
Проблема заключается в том, что вблизи таких "критических" t вычисление $x(t)$ и $y(t)$ по приведённым выше формулам даёт большие погрешности (т.е. большой разброс точек получается).

Известны ли методы, как улучшить точность вблизи описанных мной "критических" точек? Увы, "печать" кривых у особых $t$ необходима, т.к. из всей заданной кривой нужны лишь несколько малых сегментов, и сегменты вблизи "критических" $t$ часто входят в число нужных.

[Vince Diesel]

Если проблема только в рисовании, матпакеты считают с любой требуемой точностью, и по точной формуле нарисуют все, как надо. Или коэффициенты многочленов тоже заданы приближенно?

[histrix]

Если использовать системы компьютерной алгебры, типа Maple или Symbolic TB в MATLAB, то да, по идее должно всё чётко посчитаться с расширенной точностью и тем более символьно.
Только считать будет долго, т.к. если сложная кривая, то на всё про всё 200-400 точек может запросто потребоваться. Т.е. вопрос как посчитать по возможности со стандартной точностью 32 бит с плавающей запятой.
Кроме того, интересно и в целом, есть ли какие математические подходы. Я видел пару статей на английском, но сам я вообще не математик (+ не уверен, что статьи "именно те что надо").

Насчёт коэффициентов: они довольно точные, т.к. как раз их я считаю с расширенной точностью (ещё бы, ведь это исходные данные!). Почти уверен, что дело не в них.

[Vince Diesel]

А какой там порядок многочленов? По поводу методов ничего не могу сказать, но многочлены должны считаться быстро. Даже если степень порядка $10^3$. В математике и мейпле есть даже команды, которые переводят многочлен в форму Горнера.

[histrix]

порядок от трёх до 20-30 где-то. Для 32 битных чисел порядок 30 это очень много. Но хотя бы даже 12 максимум, всё равно именно у "критических" t точность вычисления катастрофически падает. У меня только MATLAB, в нём и пишу всё. Т.к. я инженер-электрик, а не математик

P.S.: А схема Горнера это самый точный метод для многочленов? Вроде МАТLAB как раз её и использует в polyval().
P.P.S: Кажется я понял, что с моими порядками по схеме Горнера должен быть относительно быстрый расчёт, даже для символьных данных. Хотя всё же математическая сторона проблемы тоже интересна..

[histrix]

стандартная двойная точность с плавающей запятой на современных процессорах общего назначения (Intel, AMD) 64 бит. Я просто запутался, т.к. работал с железом, а там всё 16 и 32 бит.

Проблемы с точностью были почти наверняка из-за больших производных "распечатываемых" многочленов на некоторых участках. Решение и правда тут видится лишь одно: увеличить точность расчётов.

Тем не менее, спасибо за напоминание про схему Горнера, я со школы уже было и забыл что это такое и какая польза.