Интегрирование дифференциальных форм на многообразии

[OlgaD]

Разбираюсь с интегрированием форм на гладких многообразиях и возникла масса мелких вопросов. Они хоть и мелкие, но мешают общему представлению.

Например, интегрирование по цепям. Вообще стандартное определение гладкого сингулярного $k$-мерного симплекса - это гладкое отображение стандартного симплекса из $\mathbb{R}^k$ в многообразие. Однако, также мне встретилось немного иное определение:

Цитата:

сингулярный $k$-симплекс - это образ стандартного замкнутого $k$-мерного симплекса в $\mathbb{R}^k$ при гладком отображении его в многообразие вместе с параметризацией.

Возникает первый вопрос: так образ или само отображение? Если читать дальше, то вообще-то выходит, что отображение. Однако, очень стойкое желание рассматривать всю конструкцию как интеграл по триангулированной области - тогда получается, что ближе процитированное определение.

Второй вопрос касается сингулярных цепей: почему говорится о линейных комбинациях с вещественными коэффициентами, если по логике вещей все коэффициенты должны вроде бы быть равными 1?

[svv]

OlgaD в сообщении #854753 писал(а):

образ или само отображение?

Аналогичная ситуация. Кривую можно рассматривать как отображение $\gamma: [a, b]$ (простой случай) $\to M$. Но если детали соответствия между точками $[a, b]$ и точками $M$ нас не интересуют, а важен лишь образ $\gamma([a, b])$, мы называем кривой этот образ.