2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 06:03 
Формулы Абеля устанавливают, что для любого примитивного решения $(x,y,z)$ уравнения $$x^n+y^n=z^n,\eqno(1)$$
$n$ простое >2, число $z$ будет произведением $ab$ целых чисел
$$a=x+y\eqno(2)$$
и
$$b=\frac{ x^n+y^n}{x+y}\eqno (3)$$
Можно показать, что число $x+y$ является квадратом.
И сначала покажем это для кубов. (Если такой стиль изложения допускается на форуме, то продолжим)

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 12:53 
Уважаемый Iasta! Вы допустили опечатку. Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

$X + Y = a^P$,

$(X^P + Y^P)/(X + Y) = b^P$,

$Z =ab$, где P - простое нечетное число.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение25.04.2014, 18:57 
vasili в сообщении #854555 писал(а):
Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

Уважаемый vasili!
Речь идет только о делимости в общем случае. А основания степеней разложения, как правило, обозначают $u,v$.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 04:02 
Предпосылкой доказательства являлась попытка найти противоречия в свойствах степеней уравнения (1) с простым показателем рассматривая их квадратами (далее в тексте указанные степени будем именовать одним словом – степени). Уравнение (1) было представлено в виде
$$\frac{z^n}{2}-x^n=y^n-\frac{z^n}{2}\eqno(4)$$
Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$. При таком определении степеней, уравнение (4) можно разложить по формулам разностей квадратов. Однако, попытка найти общий алгебраический делитель правой и левой части (4) не удалась. И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел
$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$
Согласно этому уравнению, для всех $(n,m)$, и если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5), то справедливо следующее
$$x^n+y^n=r^m+s^m  \eqno(6)$$
Все последующие рассуждения, согласно правилам форума, проведем для кубов. На основании (6)
$$x^3+y^3=r^2+s^2  \eqno(7)$$ Или
$$x^3-s^2=r^2-y^3  \eqno(8)$$ (Если здесь все ясно, то продолжим)

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 07:14 
Аватара пользователя
lasta в сообщении #855037 писал(а):
Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$.
Я внимательно читаю тему. Отправить её в Пургаторий?

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение26.04.2014, 08:32 
Deggial в сообщении #855052 писал(а):
Я внимательно читаю тему.

Уважаемый Deggial!
Имелись в виду квадраты с иррациональными основаниями. Правильно будет "то основания квадратов...."
Спасибо за найденную опечатку.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 04:29 
Уважаемый Iasta! Если существуют рациональные числа (не равные нулю), удовлетворяющие уравнению
$X^2 + Y^2 =1$, то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 12:29 
vasili в сообщении #855596 писал(а):
то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) - для вещественных чисел. В доказательстве же сделана оговорка "если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5)..." Решения совершенно разные и, конечно же имелись в виду, - рациональные числа (натуральные дроби).
И пока ни какого доказательства не проводились. Только предпосылки.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение27.04.2014, 17:09 
Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 12:27 
И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел
$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$

Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 12:51 
Абель вывел свои формулы прибавляя и отнимая одинаковые члены в уравнение. Используем его прием. Пусть для уравнения (8) выполняется соотношения $x>r>s>y$.
Если отнять и прибавить выражение $\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}$в уравнении (5) при $n=2$, то получим
$$ r^2+\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2} +s^2-\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}=1.\eqno(9)$$
Решение уравнения (5) для квадратов существует. И если существует рациональное решение этого уравнения для кубов, то основания кубов и квадратов можно выразить натуральными дробями. Тогда
$$x^3=\frac{X^3}{Z^3}; y^3=\frac{Y^3}{Z^3}\eqno(10)$$
$$r^2=\frac{R^2}{C^2}; s^2=\frac{S^2}{C^2} \eqno(11)$$
в соответствии с этим преобразуем (9)
$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -(\frac{R^2-S^2}{2C^2}))) -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -\frac{R^2-S^2}{2C^2}))=1.\eqno(12)$$
В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z=C^2Z_1$
$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}))   -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}))=1.\eqno(13)$$
Следовательно
$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$
$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$
Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на $C^2$
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство
$$5^2+12^2=13^2$$
После выяснения затруднительных моментов можно продолжить.

-- 28.04.2014, 14:03 --

vasili в сообщении #856225 писал(а):
Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) должно быть справедливым для рациональных чисел только в случае существования решения. Это предположение. Если его не делать, то, в общем случае уравнение справедливо для вещественных чисел.
Но, спасибо за замечание. Вы правы. Слова "....для рациональных чисел" лишние.

-- 28.04.2014, 14:13 --

binki в сообщении #855830 писал(а):
Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

Уважаемый binki!
Возможно Вы имели слово спорно. Не найду брода, так искупаюсь. Согласен с вами, что заявление должно быть таким: - Предполагаемое направление доказательства.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 19:16 
Числовая ось произвольных $(x^n, y^n);(r^m ,s^m)$ пар решений уравнения (5) (для пояснения формул (8) и (9))
В общем случае
$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$
И для квадратов и кубов
$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$
В связи с произвольностью выбора пар решений, числа кубов могут быть и в пределах интервала $r^2-s^2$

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение28.04.2014, 20:34 
В сообщении 856243 в тексте опечатки, начиная со слов "В связи с тем, что решения произвольные....". Исправленный текст:
В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z^3=C^2Z^{3}_1$
$$(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})   -(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})=1.\eqno(13)$$
Следовательно
$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$
$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$
Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на знаменатель $C$ произвольной $r^2,s^2$ пары решения уравнения (5)
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство
$$5^2+12^2=13^2$$

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение29.04.2014, 05:02 
Дополним ось необходимыми числами
Для общего случая$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad}s^{m}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{m}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n\text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
Для квадратов и кубов
$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad}s^{2}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{2}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$
Числовая ось наглядно показывает, что любая из $(x^n ,y^n);(s^m ,r^m);  (s^{m}_k , R^{m}_{k+1})$ пар решений уравнения (5) в сумме равна $1$. А также и то, что все пары симметричны относительно числа $0,5$ и относительно друг друга.
Далее нам предстоит выяснить какая из $(u^n , v^n)$ степеней разложения Абеля содержит множитель $c^2$. Поэтому на данном этапе хотелось бы узнать вопросы, возникающие при рассмотрении правильности предполагаемого вывода. Необходима ясность в простых моментов, так как ошибки происходят в элементарном упущении какого либо факта. С удовольствием отвечу на конкретные вопросы.

 
 
 
 Re: Некоторые свойства формул Абеля
Сообщение29.04.2014, 06:19 
lasta в сообщении #856591 писал(а):
$(R^{m}_{k+1})$

Опечатка. Правильно $(r^{m}_k)$. И на осях индекс ${k+1}$ считать индексом $k$.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group