Теория устойчивости. Материальный и энергетический баланс.

[Katmandu]

Рассматривается смесительный бак с постоянным поперечным сечением $S = 1 $ м$^2$ . Он наполняется водой из двух труб с температурами $ T_1 = 60, T_2 = 10 $ соответственно.
Эта жидкость мгновенно смешивается и вытекает из выходного отверстия на дне сосуда со скоростью $ v = 2 \sqrt{5h}$ и с температурой $T$, где $h$ - высота столба жидкости.
Скорости потоков из выходных труб зависит от текущей температуры выходного потока $T$ и текущей высоты $h$, они равны $v_1 = -h + 2T$ и $ v_2 = h $ для первой и второй труб соответственно.

Задача:
1) составить систему из двух дифференциальных уравнений относительно $h = h(t), T=T(t)$ ( уравнения материального и энергетического балансов), моделирующую данный смесительный бак.
2) Определить, является ли положение равновесия $h_0 = 20$ м, $ T_0 = 10$ асимптотически устойчивым. Теплоемкость воды считать постоянной.



Единственное, что здесь пока не понятно мне, это что за уравнения материального и энергетического балансов. Смотрел в интернете, но ничего вразумительного не нашел. Подскажите, что значит энергетический и материальный баланс.

-- 26.04.2014, 02:16 --



Примерно такой рисунок.

[Katmandu]

Я выяснил, что уравнение баланса масс для бака можно найти так.

$$ \frac {dV} {dt} = v_1 + v_2 - v , $$

$V$ - объём жидкости в смесительном баке. Так как $S = 1$, то $h = \frac V S = V$ , отсюда получаем

$$ \dot h = -h(t) + 2T + h(t) - 2\sqrt{5h} = 2T - 2\sqrt{5h} $$

Не понятно, откуда выводится это уравнение баланса и исходя из чего. И не понятно как сформировать уравнение энергетического баланса.

-- 26.04.2014, 03:45 --

Уравнение баланса масс основана на том, что
Приход вещества - Расход вещества = Накопление вещества.
В данном случае почему то рассматриваются скорости, видимо они и характеризуют приход и расход вещества.

Далее. Уравнение энергетического баланса говорит о том, что опять-таки какое-то количество энергии пришло, какое-то ушло, и какое-то накопилось. Мне кажется что энергию здесь может характеризовать скорость потока на температуру потока.

т.е. что-то типа

$$ \frac {d(vT)} {dt} = v_1T_1 + v_2T_2 - vT $$

Подскажите, правильны ли мои предположения?

[svv]

С какой суммарной скоростью (в смысле $\frac{dm}{dt}$) втекает по трубам в бак масса, с такой скоростью увеличивается масса внутри бака.
(Вытекание — это втекание со знаком минус).
С какой суммарной скоростью (в смысле $\frac{dE}{dt}$) втекает по трубам в бак энергия, с такой скоростью увеличивается энергия внутри бака.

-- Сб апр 26, 2014 01:05:47 --

А Вы уже сами разобрались.

[melnikoff]

Katmandu в сообщении #854986 писал(а):

Далее. Уравнение энергетического баланса говорит о том, что опять-таки какое-то количество энергии пришло, какое-то ушло, и какое-то накопилось. Мне кажется что энергию здесь может характеризовать скорость потока на температуру потока.

Уравнение баланса масс выражает закон сохранения массы вещества.
А уравнение энергетического баланса (теплового баланса) выражает закон сохранения энергии.
Две струи воды, наполняющие бак приносят тепловую энергию в бак, а струя воды, вытекающая из бака, тепловую энергию уносит. То есть, тепловая энергия запасенная на данный момент в баке равна начальной тепловой энергии воды в баке плюс привнесенной за все время минус унесенной за все время.

[Katmandu]

У меня получилось в общем то так.
Удельная теплоемкость считаем по формуле $Q = cm\Delta T$
$c - \operatorname{const}$ по условию задачи.
$ m = \rho V = \pho vt $
Далее знаем, что $V = h = h(t), T = T(t)$.

Значит накопление энергии в баке можно посчитать по формуле $ Q(V+\Delta V, T + \Delta T) - Q(V,T) $

Приход энергии можно посчитать $\rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2$
Расход: $ \rho v\Delta tT $

Собираем все вместе и получаем

$$ Q(V+\Delta V, T + \Delta T) - Q(V,T) = \rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2 - \rho v\Delta tT$$

Как то нужно перейти к производной, не ясно как еще.

-- 26.04.2014, 05:13 --

В общем все получилось. И получилась система дифференциальных уравнений.

$$ \begin{cases} \dot h = 2T - 2\sqrt{5h} \\ h\dot T = -2T^2 + 120T - 50h \end{cases} $$

Положение равновесия $ T_0 = 10, h_0 = 20 $ нужно исследовать на асимптотическую устойчивость.

Строим систему в отклонениях.

$ x = T - 10, y = h - 20 $



Преобразовываем систему и получаем:

$$ \begin{cases} \dot y = 2x + 20 - 2\sqrt{5y + 100} \\ (y+20)\dot x = -2x^2 - 80x - 60y \end{cases} $$

в точке $x=0, y=0$ - положение равновесия.

Теперь нужно как-то построить систему в линейных приближениях. Трудности возникают с первым уровнением, там где корень... Как выделить линейную часть?
Да и во втором уравнении, что делать с множителем стоящим перед $\dot x$

-- 26.04.2014, 05:22 --

$\sqrt{5y+100}$ разложил в окрестности нуля по Тейлору получилось что-то типа $10 + \frac y {10} + ...$

Что же делать с $(y+20)$ стоящим перед $\dot x$ ?

[Katmandu]

Katmandu в сообщении #855009 писал(а):

$\sqrt{5y+100}$ разложил в окрестности нуля по Тейлору получилось что-то типа $10 + \frac y {10} + ...$

на самом деле $\sqrt{5y+100} = 10 + \frac 1 4 + ...$
ошибся немного.

[undestender]

Цитата:

В общем все получилось. И получилась система дифференциальных уравнений.

$$ \begin{cases} \dot h = 2T - 2\sqrt{5h} \\ h\dot T = -2T^2 + 120T - 50h \end{cases} $$

можешь рассказать как это получилось?
очень интересно

-- 06.05.2014, 03:03 --

уже не надо) разобрался

[undestender]

Цитата:

$ m = \rho V = \pho vt $

Цитата:

Приход энергии можно посчитать $\rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2$
Расход: $ \rho v\Delta tT $

Ты уверен в этом???
$ m = \pho vt = [kg/m^3 * m/s] = [kg * s / m^2]$ !!!???!? Что то размерность не сходится

[Deggial]

undestender в сообщении #859756 писал(а):

Ты уверен в этом???

undestender в сообщении #859650 писал(а):

можешь рассказать

undestender, на форуме обращаются друг к другу на "Вы":

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
е) Провокационные и вызывающие сообщения, фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы"), хамство, оскорбления в адрес участников дискуссии и иных лиц (в том числе не являющихся участниками форума), разжигание флейма, обсуждение в тематических разделах ников*, аватаров*, подписей* собеседников.
...

[rorororo]

Можете, пожалуйста, объяснить вывод уравнения энергетического баланса поподробнее?

[Katmandu]

undestender в сообщении #859756 писал(а):

Цитата:

Приход энергии можно посчитать $\rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2$
Расход: $ \rho v\Delta tT $
Вы уверены в этом, господин???
$ m = \pho vt = [kg/m^3 \cdot m/s] = [kg \cdot s / m^2]$ !!!???!? Что то размерность не сходится

Правильнее будет

$$ m = \rho V = \rho v t $$

тогда вроде все сходится с размерностью.

-- 06.05.2014, 20:25 --

rorororo в сообщении #859892 писал(а):

Можете, пожалуйста, объяснить вывод уравнения энергетического баланса поподробнее?

В каком именно месте подробнее?

[rorororo]

Katmandu в сообщении #855009 писал(а):

$$ Q(V+\Delta V, T + \Delta T) - Q(V,T) = \rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2 - \rho v\Delta tT$$

$$ h\dot T = -2T^2 + 120T - 50h $$

Как из первого уравнения следует второе?

[Katmandu]

rorororo в сообщении #859902 писал(а):

$$ Q(V+\Delta V, T + \Delta T) - Q(V,T) = \rho v_1\Delta tT_1 + \rho v_2\Delta tT_2 - \rho v\Delta tT$$

мне кажется я неправильно написал равенство оно должно иметь вид

$$ Q(V+\Delta V, T + \Delta T) - Q(V,T) =c\rho (h+\Delta h)(T+\Delta T) - c\rho hT = c\rho v_1\Delta tT_1 + c\rho v_2\Delta tT_2 - c\rho v\Delta tT$$

кстати ($ V = h$ )
или

$$ (h+\Delta h)(T+\Delta T) - hT = v_1\Delta tT_1 + v_2\Delta tT_2 - v\Delta tT$$

его уже не трудно в свою очередь представить в виде

$$\frac {T\Delta h + h\Delta T + \Delta h \Delta T} {\Delta t} = T_1v_1 + T_2v_2 - Tv $$

так как $ \dot h = v_1 + v_2 - v $,
то можно представить в виде

$$\frac {h\Delta T + \Delta h \Delta T} {\Delta t} = T_1v_1 + T_2v_2 - Tv - T(v_1+v_2-v) $$

Дальше $ \Delta t \rightarrow 0 $, подставляем все известные и получаем

rorororo в сообщении #859902 писал(а):

$$ h\dot T = -2T^2 + 120T - 50h $$

[Marat47]

До этого все понятно, но вы можете поподробнее расписать вот этот переход? Куда девается

$$\Delta h$$

?

Цитата:

$$\frac {h\Delta T + \Delta h \Delta T} {\Delta t} = T_1v_1 + T_2v_2 - Tv - T(v_1+v_2-v) $$

Дальше $ \Delta t \rightarrow 0 $, подставляем все известные и получаем

rorororo в сообщении #859902 писал(а):

$$ h\dot T = -2T^2 + 120T - 50h $$