Некоторые свойства формул Абеля

[lasta]

Формулы Абеля устанавливают, что для любого примитивного решения $(x,y,z)$ уравнения

$$x^n+y^n=z^n,\eqno(1)$$

$n$ простое >2, число $z$ будет произведением $ab$ целых чисел

$$a=x+y\eqno(2)$$

и

$$b=\frac{ x^n+y^n}{x+y}\eqno (3)$$

Можно показать, что число $x+y$ является квадратом.
И сначала покажем это для кубов. (Если такой стиль изложения допускается на форуме, то продолжим)

[vasili]

Уважаемый Iasta! Вы допустили опечатку. Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

$X + Y = a^P$,

$(X^P + Y^P)/(X + Y) = b^P$,

$Z =ab$, где P - простое нечетное число.

[lasta]

vasili в сообщении #854555 писал(а):

Часть Формул Абеля для 1 случая ВТФ, которые Вы обозначили пишутся так:

Уважаемый vasili!
Речь идет только о делимости в общем случае. А основания степеней разложения, как правило, обозначают $u,v$.

[lasta]

Предпосылкой доказательства являлась попытка найти противоречия в свойствах степеней уравнения (1) с простым показателем рассматривая их квадратами (далее в тексте указанные степени будем именовать одним словом – степени). Уравнение (1) было представлено в виде

$$\frac{z^n}{2}-x^n=y^n-\frac{z^n}{2}\eqno(4)$$

Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$. При таком определении степеней, уравнение (4) можно разложить по формулам разностей квадратов. Однако, попытка найти общий алгебраический делитель правой и левой части (4) не удалась. И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел

$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$

Согласно этому уравнению, для всех $(n,m)$, и если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5), то справедливо следующее

$$x^n+y^n=r^m+s^m \eqno(6)$$

Все последующие рассуждения, согласно правилам форума, проведем для кубов. На основании (6)

$$x^3+y^3=r^2+s^2 \eqno(7)$$

Или

$$x^3-s^2=r^2-y^3 \eqno(8)$$

(Если здесь все ясно, то продолжим)

[Deggial]

lasta в сообщении #855037 писал(а):

Если степени рассматривать как квадраты, то основания степеней в этом случае будут определяться как $x=\sqrt{x^n}; y=\sqrt{y^n};z=\sqrt{z^n}$.

Я внимательно читаю тему. Отправить её в Пургаторий?

[lasta]

Deggial в сообщении #855052 писал(а):

Я внимательно читаю тему.

Уважаемый Deggial!
Имелись в виду квадраты с иррациональными основаниями. Правильно будет "то основания квадратов...."
Спасибо за найденную опечатку.

[vasili]

Уважаемый Iasta! Если существуют рациональные числа (не равные нулю), удовлетворяющие уравнению
$X^2 + Y^2 =1$, то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

[lasta]

vasili в сообщении #855596 писал(а):

то откуда Вы взяли (как доказали), что $X^n + Y^n = 1$, для $n>2$?.

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) - для вещественных чисел. В доказательстве же сделана оговорка "если пары чисел $(x,y),(r,s)$ удовлетворяют уравнению (5)..." Решения совершенно разные и, конечно же имелись в виду, - рациональные числа (натуральные дроби).
И пока ни какого доказательства не проводились. Только предпосылки.

[binki]

Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

[vasili]

И принцип построения уравнения (4) был перенесен на уравнение Ферма для рациональных чисел

$$x^n+y^n=1\eqno(5)$$

Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

[lasta]

Абель вывел свои формулы прибавляя и отнимая одинаковые члены в уравнение. Используем его прием. Пусть для уравнения (8) выполняется соотношения $x>r>s>y$.
Если отнять и прибавить выражение $\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}$в уравнении (5) при $n=2$, то получим

$$ r^2+\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2} +s^2-\frac {(x^3 -y^3) -(r^2-s^2)}{2}=1.\eqno(9)$$

Решение уравнения (5) для квадратов существует. И если существует рациональное решение этого уравнения для кубов, то основания кубов и квадратов можно выразить натуральными дробями. Тогда

$$x^3=\frac{X^3}{Z^3}; y^3=\frac{Y^3}{Z^3}\eqno(10)$$

$$r^2=\frac{R^2}{C^2}; s^2=\frac{S^2}{C^2} \eqno(11)$$

в соответствии с этим преобразуем (9)

$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -(\frac{R^2-S^2}{2C^2}))) -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{X^3-Y^3}{2Z^3} -\frac{R^2-S^2}{2C^2}))=1.\eqno(12)$$

В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z=C^2Z_1$

$$(\frac{R^2}{C^2}+(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3})) -(\frac{S^2}{C^2}-(\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}))=1.\eqno(13)$$

Следовательно

$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$

$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$

Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на $C^2$
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство

$$5^2+12^2=13^2$$

После выяснения затруднительных моментов можно продолжить.

-- 28.04.2014, 14:03 --

vasili в сообщении #856225 писал(а):

Это Вы пишете. Следовательно Вы доказали (5) для рациональных чисел, для $n >2$?

Уважаемый vasili!
Уравнение (5) должно быть справедливым для рациональных чисел только в случае существования решения. Это предположение. Если его не делать, то, в общем случае уравнение справедливо для вещественных чисел.
Но, спасибо за замечание. Вы правы. Слова "....для рациональных чисел" лишние.

-- 28.04.2014, 14:13 --

binki в сообщении #855830 писал(а):

Формула 8 меня заинтересовала. Но ваше заявление спороно. Если сможете доказать частные случаи, было бы неплохо!

Уважаемый binki!
Возможно Вы имели слово спорно. Не найду брода, так искупаюсь. Согласен с вами, что заявление должно быть таким: - Предполагаемое направление доказательства.

[lasta]

Числовая ось произвольных $(x^n, y^n);(r^m ,s^m)$ пар решений уравнения (5) (для пояснения формул (8) и (9))
В общем случае

$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$

И для квадратов и кубов

$$\frac{\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad} 0.5\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}}{\text{\qquad\qquad}}$$

В связи с произвольностью выбора пар решений, числа кубов могут быть и в пределах интервала $r^2-s^2$

[lasta]

В сообщении 856243 в тексте опечатки, начиная со слов "В связи с тем, что решения произвольные....". Исправленный текст:
В связи с тем, что решения произвольные, допустим, что $Z>C$. Тогда $Z$ делится на $C$. Пусть $Z^3=C^2Z^{3}_1$

$$(\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}) -(\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3})=1.\eqno(13)$$

Следовательно

$$x^3=\frac{R^2}{C^2}+\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(14)$$

$$y^3=\frac{S^2}{C^2}-\frac{(X^3-Y^3)- Z^{3}_1(R^2-S^2)}{2Z^3}\eqno(15)$$

Знаменатель кубов уже установлен и равен $Z^3$. следовательно число $2$ сокращается, а $C^2$ делит $Z^3$.
Таким образом доказано, что $Z$ делится на знаменатель $C$ произвольной $r^2,s^2$ пары решения уравнения (5)
Частным доказательством является известный факт, что один из кубов должен делится на $13$, а для этого числа существует равенство

$$5^2+12^2=13^2$$

[lasta]

Дополним ось необходимыми числами
Для общего случая

$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^n \text{\qquad}s^m\text{\qquad\qquad}s^{m}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{m}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^m\text{\qquad}x^n\text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$

Для квадратов и кубов

$$\frac{0\text{\qquad\qquad}y^3 \text{\qquad}s^2\text{\qquad\qquad}s^{2}_k\text{\qquad\qquad}0.5\text{\qquad\qquad}r^{2}_{k+1}\text{\qquad\qquad}r^2\text{\qquad}x^3 \text{\qquad\qquad}1}{\text{\qquad\qquad}}\rightarrow$$

Числовая ось наглядно показывает, что любая из $(x^n ,y^n);(s^m ,r^m); (s^{m}_k , R^{m}_{k+1})$ пар решений уравнения (5) в сумме равна $1$. А также и то, что все пары симметричны относительно числа $0,5$ и относительно друг друга.
Далее нам предстоит выяснить какая из $(u^n , v^n)$ степеней разложения Абеля содержит множитель $c^2$. Поэтому на данном этапе хотелось бы узнать вопросы, возникающие при рассмотрении правильности предполагаемого вывода. Необходима ясность в простых моментов, так как ошибки происходят в элементарном упущении какого либо факта. С удовольствием отвечу на конкретные вопросы.

[lasta]

lasta в сообщении #856591 писал(а):

$(R^{m}_{k+1})$

Опечатка. Правильно $(r^{m}_k)$. И на осях индекс ${k+1}$ считать индексом $k$.