Пускай у нас есть полукруг радиуса R, с центром в точке 0. Требуется найти функцию U, гармоничную внутри этого полукруга, и удовлетворяющую следующим краевым условиям:

,

,

, где

- вектор нормали к границе полукруга.
Я решаю эту задачу методом разделения переменных, то есть ищу решение исходной задачи в виде:

Записываю лапласиан в полярной системе координат и подставляя это решение, разделяю переменные и имею два уравнения:

и

Пусть

, тогда получаем, что

и

, подставляя начальные условия, а именно, то что

и

имеем, что

, т.е тривиальное решение.
Далее пусть теперь

,
Тогда имеем следующие решения

, где

, и

, где

Подставляя начальные условия легко убедиться, что

Теперь пусть

Имеем следующие решения:

и

Подставляя начальные условия имею, что

и

, т.е получаем уравнение на

,

, где

Итого

представляется как:

Дальше собственно вопрос: можно ли потребовать, чтобы

для того чтобы решения оставались ограниченными или нет?