Несобственный интеграл

[TopLalka]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста с одной задачкой.
Пусть интеграл $\int_0^\infty f(x) $ сходится, тогда для всякого положительного $a$ сходится интеграл $\int_0^\infty e^{-ax}f(x)$ и $lim_{a \to 0} \int_0^\infty e^{-ax}f(x) = \int_0^\infty f(x) $
Легко из признака Дирихле показать, что новые интегралы сходятся. Также у меня получается доказать такой предел, но для собственных интегралов. Соо-но если бы функция собственного интеграла от двух переменных (от верхнего предела и от коэффициента в степени e) стремилась по какой-нибудь переменной равномерно, то пределы можно было бы поменять местами, но у меня получается это доказать только из предположения, что интеграл от f сходится абсолютно. Больше идей нет.

[sup]

Обозначим $F(x) = - \int \limits_x^\infty f(s)ds $
Тогда $f(x) = F'(x)$.
Предлагаю подставить это выражение в интеграл с экспонентой и проинтегрировать по частям. А вот потом уже можно переходить к пределу по параметру.

[TopLalka]

sup в сообщении #852533 писал(а):

Тогда $f(x) = F'(x)$.

Для этого не нужна непрерывность f?

А, ну множество точек разрыва с необходимостью является множеством меры ноль, а значит эти две функции равны почти везде, и интегралы от них равны.
Спасибо.

Хотя с другой стороны непонятно, почему F вообще диффиринцируема в этих точках разрыва f.

[Dan B-Yallay]

TopLalka в сообщении #852544 писал(а):

Хотя с другой стороны непонятно, почему F вообще диффиринцируема в этих точках разрыва f.

она там не дифференцируема.

[SpBTimes]

TopLalka
Понимается почти всюду.