Гармонический осциллятор и неинтегрируемость

[scwec]

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в $\mathbb{R}^4$
$\dot q_i=p_i,\dot p_i=-\omega_i{q_i}^2,i=1,2$ и $\dfrac{\omega_1}{\omega_2}$ - иррациональное число.
Соответствующее векторное поле $X_1=p_i\dfrac{\partial}{\partial{q_i}}-q_i{\omega_i}^2\dfrac{\partial}{\partial{p_i}}$
Определим векторное поле $X_2=q_i\dfrac{\partial}{\partial{q_i}}+p_i\dfrac{\partial}{\partial{p_i}}$
Коммутатор $[X_1,X_2]=0$. Таким образом, $X_1,X_2$ порождают в $\mathbb{R}^4$ интегрируемое распределение там, где $X_1,X_2$ линейно независимы.
(Т.е. всюду кроме точки $(0,0,0,0)$.) Через каждую точку линейной независимости проходит максимальное двумерное связное интегральное
многообразие этого распределения. Фиксируем точку линейной независимости $x_0\in{\mathbb{R}^4}$. Максимальное связное многообразие распределения,
проходящее через $x_0$ обозначим $M_2$. Обозначим $N_2=M_2\cup{(0,0,0,0)}$.
Докажите, что $N_2$ не замкнуто в $\mathbb{R}^4$.

[Munin]

(Оффтоп)

Я дочитал до слова "распределения", и не понял его.

[scwec]

Наберите в поисковике "Распределение". Тут профессиональные дела.
В каждой точке задана 2-плоскость (она и определяет распределение), касательная к ней двумерная поверхность есть интегральное многообразие. Надо знать теорему Фробениуса, как минимум, чтобы понимать, что тут написано. Смысл вопроса в том, что интегрируемые системы (в смысле Фробениуса) могут не обладать первыми интегралами, satisfy?
А я хотел в олимпиадные задачи это поместить.

[Munin]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851437 писал(а):

Наберите в поисковике "Распределение".

Набрал. Получил то, что иначе называют обобщённой функцией. При чём здесь это?

Если у вас термин из другой области - подскажите из какой, назовите учебник. Не надо заносчивости.

Все остальные слова я понимаю, и даже понимаю, что слово satisfy вы употребили неправильно.

[scwec]

(Оффтоп)

Вот здесь то, что нужно для понимания.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E0%F1% ... %F0%E8%FF)

[Oleg Zubelevich]

а разве нельзя выписать явно формулы, которые задают $N_2$ в параметрическом виде? $(t,s)\mapsto g^t_{X_1}\circ g^s_{X_2}(x_0)$

-- Пт апр 18, 2014 19:59:17 --

небось это многообразие там еще и всюду плотно заметает чего-нибудь

[ewert]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851437 писал(а):

А я хотел в олимпиадные задачи это поместить.

Тогда надо было честно предупредить, что задача на теорию вероятностей (раз уж распределение).

[scwec]

Вот если бы вопрос был $M^2$ не замкнуто в $\mathbb{R}^4$, тогда всё ведь ясно.
Специально добавил $(0,0,0,0)$, чтобы были затруднения.

-- Пт апр 18, 2014 21:27:09 --

ewert, и Вы туда же.

[Oleg Zubelevich]

Интегральная кривая поля $X_1$ лежит всюду плотно на двумерном торе, который не проходит через ноль, эта кривая лежит в пересечении многообразия $M_2$ и этого тора.
Если многообразие $M_2$ не содержит тор, то доказательство закончено, если оно содержит тор, то оно с ним совпадает, что невозможно поскольку $0$ его предельная точка

[scwec]

Да, это похоже на правду.
Поздравляю. Факт не очевидный, но предсказуемый.

[Munin]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #851445 писал(а):

Вот здесь то, что нужно для понимания.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%E0%F1% ... %F0%E8%FF)

Всё, понял, спасибо. Ссылка у вас битая, правда. Правильная:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_(дифференциальная_геометрия)

[Oleg Zubelevich]

центральное понятие неголономной механики...

[scwec]

Согласен. Замечу только, что в данном примере распределение задается векторными полями $X_1,X_2$, а в неголономной механике неинтегрируемые распределения задаются 1-формами связи.

[Oleg Zubelevich]

точка массы $m$ движется в $\mathbb{R}^3$ под действием идеальной связи $\dot z=ax\dot y+\dot x$ и сил с потенциалом $V=b(x^2+y^2+z^2)/2$; константы $a,b$ не равны нулю, $b>0$. Найти устойчивые по первому приближению положения равновесия и соответствующие частоты малых колебаний. $xyz$ -- стандартные декартовы координаты.

[scwec]

Задача интересная (хотя и не в русле начального вопроса)
Неголономность системы следует из того, что 1-форма, задающая связь $\omega=dx+axdy-dz$ неинтегрируема, поскольку $d\omega\wedge\omega=-adx\wedge{dy}\wedge{dz}\ne{0}$.
Далее, например, действуем по рецепту из книги Неймарка и Фуфаева "Динамика неголономных систем", §2 "Устойчивость и малые колебания неголономных систем вблизи состояний равновесия." стр.264 и далее