Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы

[DewDrop]

Для гауссовой потенциальной ямы:
$U(x)=-U_0 exp(-\frac {x^2} {2a^2})$ вычислить относительные энергии связи основного и первого возбужденного состояний при значении борновского параметра B=3.
Задача сложная в плане расчетов, интересует только как выглядит ответ. Может разбиралась на форуме уже?

[ewert]

DewDrop в сообщении #852197 писал(а):

Задача сложная в плане расчетов,

Если нужно именно численно, и с не слишком высокой точностью, то чего там сложного -- обрежьте хвосты, скажем, на уровне $\pm5a$ и затем просто через конечные разности, загнав соотв. матрицу в какой-нибудь матпакет (можно для конечных разностей использовать метод Нумерова -- у него 4-й порядок точности, т.е шесть правильных цифр он выдаст, грубо говоря, на не более чем какой-то сотне отрезков).

Кстати: я не помню (или не знаю), что такое борновский параметр, но следует иметь в виду, что при не слишком больших $U_0$ никакого возбуждённого состояния там не будет.

[DewDrop]

ewert
Мне кажется это(борновский параметр) наш лектор его придумал, т.к. нигде кроме как на его лекциях не встречал)

[ewert]

Ну если с тремя, То прокатит и безо всякого Нумерова, стандартной схемой второго порядка точности.

Кстати, после обрезания хвостов полезно параллельно считать на оставшемся отрезке и задачу Дирихле, и задачу Неймана -- истиное значение уровня будет лежать (в пределах точности дискретизации) где-то между ними.

[Munin]

DewDrop в сообщении #852206 писал(а):

Мне кажется это(борновский параметр) наш лектор его придумал, т.к. нигде кроме как на его лекциях не встречал)

http://lib.mexmat.ru/showsubject/647067

[ewert]

Знаете, хорошо всё-таки ходить в магазин. По дороге иногда приходят в голову разные полезные мысли. К сожалению, я Вас обманул -- зачем-то перепутал скорость убывания потенциала со скоростью убывания волновой функции.

Надо примерно так. Основное состояние (в данном случае) -- это основное состояние задачи на полуоси с условием Неймана в нуле. А "первое возбуждённое" состояние -- это опять же основное состояние задачи на полуоси, но уже с условием Дирихле в нуле. В обоих случаях искать это состояние следует, естественно, не универсальными процедурами поиска собственных чисел, а обратными итерациями. Благо эти итерации для трёхдиагональных (да и вообще ленточных) матриц реализуются в высшей степени эффективно, к тому же для основного состояния у нас есть тривиальная и при этом достаточно эффективная (в типичных случаях) оценка снизу.

Проблема в том, что нам неизвестно граничное условие после обрезание на правом конце. Ну тогда можно так. Для начала поставим там начальное условие пусть хоть и Дирихле, не жалко. Получим некое приближение к с.з. Поскольку за пределами выбранного отрезка волновая функция убывает всё-таки практически экспоненциально, и вот именно со скоростью, отвечающей фактическому с.з. -- ставим на правом конце граничное условие третьего типа, отвечающее вот именно этой самой экспоненте. Повторяем вычисления, и т.д. до сходимости.

Это -- для исходного основного состояния. Для следующего (т.е. для основного на полуоси с условием Дирихле в нуле) в качестве затравки лучше взять уровень основного и поставить с самого начала условие 3-го типа, отвечающее именно этому уровню; потом, по ходу итерационного процесса, этот уровень будет потихоньку подыматься к истинному.

Как-то так. (Ну там ещё есть кой-какие чисто технические ньюанецы.) Да, некоторое занудство взросло, да. Но, как мне кажется -- всё вполне пробиваемо за вполне разумное время. А как лучше -- не знаю.

[DewDrop]

ewert , спасибо, правда видно моих знаний недостаточно чтобы все это понять(
Munin , Елютин и есть мой лектор)

[Munin]

DewDrop в сообщении #852348 писал(а):

Munin , Елютин и есть мой лектор)

LOL

Ну, тогда можно у него попросить ссылку на работу Борна, где этот параметр вводится :-) Я уверен, что даст с удовольствием. Но потом и спросит на зачёте строже.

[ewert]

(Оффтоп)

Вообще-то странно. Мне всегда казалось, что Елютин -- это какой-то мастодонт и давно вымер; не говоря уж о том, что даже и в те времена он был вроде бы министром.

Возможно, это его сын; но тогда это не его задачник.

Да, я погуглил. Это его отец был министром, а не он. Но всё равно странно: ведь ещё мы по этому задачнику учились; а было это, на минутку, чёрт-те когда.

[Munin]

(Оффтоп)

Если речь о Елютине П. В., то хотя первое издание книги 1975 год, публикации у него есть и в 2012. Никто не мешает ему и преподавать, я полагаю.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #852372 писал(а):

Никто не мешает ему и преподавать, я полагаю.

Да, конечно. Просто меня удивило: как медленно течёт время...