2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 16:37 
Аватара пользователя


04/10/13
92
Для гауссовой потенциальной ямы:
$U(x)=-U_0 exp(-\frac {x^2} {2a^2})$ вычислить относительные энергии связи основного и первого возбужденного состояний при значении борновского параметра B=3.
Задача сложная в плане расчетов, интересует только как выглядит ответ. Может разбиралась на форуме уже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 16:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32072
DewDrop в сообщении #852197 писал(а):
Задача сложная в плане расчетов,

Если нужно именно численно, и с не слишком высокой точностью, то чего там сложного -- обрежьте хвосты, скажем, на уровне $\pm5a$ и затем просто через конечные разности, загнав соотв. матрицу в какой-нибудь матпакет (можно для конечных разностей использовать метод Нумерова -- у него 4-й порядок точности, т.е шесть правильных цифр он выдаст, грубо говоря, на не более чем какой-то сотне отрезков).

Кстати: я не помню (или не знаю), что такое борновский параметр, но следует иметь в виду, что при не слишком больших $U_0$ никакого возбуждённого состояния там не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 17:02 
Аватара пользователя


04/10/13
92
ewert
Мне кажется это(борновский параметр) наш лектор его придумал, т.к. нигде кроме как на его лекциях не встречал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 17:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32072
Ну если с тремя, То прокатит и безо всякого Нумерова, стандартной схемой второго порядка точности.

Кстати, после обрезания хвостов полезно параллельно считать на оставшемся отрезке и задачу Дирихле, и задачу Неймана -- истиное значение уровня будет лежать (в пределах точности дискретизации) где-то между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
DewDrop в сообщении #852206 писал(а):
Мне кажется это(борновский параметр) наш лектор его придумал, т.к. нигде кроме как на его лекциях не встречал)

http://lib.mexmat.ru/showsubject/647067

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 22:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32072
Знаете, хорошо всё-таки ходить в магазин. По дороге иногда приходят в голову разные полезные мысли. К сожалению, я Вас обманул -- зачем-то перепутал скорость убывания потенциала со скоростью убывания волновой функции.

Надо примерно так. Основное состояние (в данном случае) -- это основное состояние задачи на полуоси с условием Неймана в нуле. А "первое возбуждённое" состояние -- это опять же основное состояние задачи на полуоси, но уже с условием Дирихле в нуле. В обоих случаях искать это состояние следует, естественно, не универсальными процедурами поиска собственных чисел, а обратными итерациями. Благо эти итерации для трёхдиагональных (да и вообще ленточных) матриц реализуются в высшей степени эффективно, к тому же для основного состояния у нас есть тривиальная и при этом достаточно эффективная (в типичных случаях) оценка снизу.

Проблема в том, что нам неизвестно граничное условие после обрезание на правом конце. Ну тогда можно так. Для начала поставим там начальное условие пусть хоть и Дирихле, не жалко. Получим некое приближение к с.з. Поскольку за пределами выбранного отрезка волновая функция убывает всё-таки практически экспоненциально, и вот именно со скоростью, отвечающей фактическому с.з. -- ставим на правом конце граничное условие третьего типа, отвечающее вот именно этой самой экспоненте. Повторяем вычисления, и т.д. до сходимости.

Это -- для исходного основного состояния. Для следующего (т.е. для основного на полуоси с условием Дирихле в нуле) в качестве затравки лучше взять уровень основного и поставить с самого начала условие 3-го типа, отвечающее именно этому уровню; потом, по ходу итерационного процесса, этот уровень будет потихоньку подыматься к истинному.

Как-то так. (Ну там ещё есть кой-какие чисто технические ньюанецы.) Да, некоторое занудство взросло, да. Но, как мне кажется -- всё вполне пробиваемо за вполне разумное время. А как лучше -- не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 22:19 
Аватара пользователя


04/10/13
92
ewert , спасибо, правда видно моих знаний недостаточно чтобы все это понять(
Munin , Елютин и есть мой лектор)

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
DewDrop в сообщении #852348 писал(а):
Munin , Елютин и есть мой лектор)

LOL

Ну, тогда можно у него попросить ссылку на работу Борна, где этот параметр вводится :-) Я уверен, что даст с удовольствием. Но потом и спросит на зачёте строже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 22:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32072

(Оффтоп)

Вообще-то странно. Мне всегда казалось, что Елютин -- это какой-то мастодонт и давно вымер; не говоря уж о том, что даже и в те времена он был вроде бы министром.

Возможно, это его сын; но тогда это не его задачник.

Да, я погуглил. Это его отец был министром, а не он. Но всё равно странно: ведь ещё мы по этому задачнику учились; а было это, на минутку, чёрт-те когда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408

(Оффтоп)

Если речь о Елютине П. В., то хотя первое издание книги 1975 год, публикации у него есть и в 2012. Никто не мешает ему и преподавать, я полагаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное исследование спектра гауссовой потенциальной ямы
Сообщение20.04.2014, 23:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32072

(Оффтоп)

Munin в сообщении #852372 писал(а):
Никто не мешает ему и преподавать, я полагаю.

Да, конечно. Просто меня удивило: как медленно течёт время...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group