Криволинейные координаты

[kp9r4d]

Пусть $\varphi, \psi \in C^{(k)}(D;\mathbb{R})$ и пусть в области $D$ $\varphi(x) = 0 \to \psi(x) = 0$. Покажите, что если $\operatorname{grad} \varphi \neq 0$, то в $D$ справедливо разложение $\psi = \theta \cdot \varphi$, где $\theta \in C^{(k-1)}(D; \mathbb{R})$.

Не знаю как и решать даже, очевидно, что функция $\theta = \frac{\psi}{\varphi}$ дифференцируема $k$ раз в точках, где $\varphi \neq 0$, ещё идея была как-то использовать то, что в окрестности невырожденной точки можно перейти к таким координатам $(\zeta^1,...,\zeta^m)$ что множество точек, в которых $\varphi = 0$ локально запишется уравнением $\zeta^m = 0$. Но мне не понятно, как это может помочь.

[svv]

Может, поможет.
Проблема в тех точках, где $\varphi=0$. Но в таких точках из
$\operatorname{grad} \psi=\operatorname{grad}(\theta\varphi)=\varphi \operatorname{grad}\theta+\theta\operatorname{grad}\varphi$
получаем
$\operatorname{grad} \psi=\theta\operatorname{grad}\varphi$.
И если $\operatorname{grad}\varphi\neq 0$, то $\theta$ отсюда однозначно восстанавливается — надо только доказать нужную гладкость.

[kp9r4d]

Ну почти понятно. На этом множестве функция запишется как $\theta = \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \zeta^1}}{\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^1}}$ (с точностью до перенумерации можно считать, что $\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^1} \neq 0$). Ограничение функции на множество $\varphi = 0$ имеет гладкость $k-1$ а на множество $\varphi \neq 0$ имеет гладкость $k$ и потому на всей области гладкость $k-1$. Так?

[svv]

Вроде так. Кстати, а Вы можете доказать, что в точках, где $\varphi=0$,
$\dfrac{\frac{\partial \psi}{\partial \zeta^i}}{\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^i}}=\dfrac{\frac{\partial \psi}{\partial \zeta^k}}{\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^k}}$,
если соответствующие компоненты градиента $\varphi$ ненулевые? Иными словами, доказать, что в точках $\varphi=0$ градиенты $\psi$ и $\varphi$ коллинеарны — ведь если это не так, уравнение $\operatorname{grad}\psi=\theta\operatorname{grad}\varphi$ относительно $\theta$ не имеет решений.

[kp9r4d]

svv
Мне вот что подумалось, если, допустим мы ввели такие координаты, что $\varphi = 0$ достигается при $\zeta^m = 0$, то тогда все частные производные по всем переменным, кроме последней в множестве $\zeta^m = 0$ тождественно равны нулю (ведь сама функция финально постоянна) у обеих функций! Ну, то есть

$$\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^i} = \frac{\partial \psi}{\partial \zeta^i} = 0 \qquad i < m$$

а отсюда коллениарность векторов очевидна.

-- 21.04.2014, 16:28 --

Ну, то есть в таких координатах и при $\varphi = 0$, у $\operatorname{grad} \varphi$ и $\operatorname{grad} \psi$ лишь последняя компонента не нулевая.
Хотя мне сейчас в голову пришло то, что не обязательно дифференциал функции $\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ в таких координатах будет выглядеть как частные производные по соотв. координате на приращение, а значит и градиент не обязательно... Дела.

[kp9r4d]

Да, разобрался вроде окончательно.
Пусть $g : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$ диффеоморфизм переводящий координаты $(x_1,...,x_m)$ в координаты $(\zeta_1,...\zeta_m)$ такие, что множество $\varphi = 0$ в окрстности некоторой точки $x_0$ (такой что $\varphi(x_0) = 0$) локально задаётся уравнением $\zeta^m = 0$.
Тогда

$$\frac{\partial \varphi}{\partial x^i} = \sum_{j=1}^m \frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^j} \frac{\partial \zeta^j}{\partial x^i} = \frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^m} \frac{\partial \zeta^m}{\partial x^i}$$

так как в достаточно малой окрестности $\zeta_0=g(x_0)$ ограничение функции $\varphi$ на любую из осей координат, кроме последней ($\zeta^m$) оставляет функцию локально постоянной (и равной нулю) и поэтому

$$\frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^i} = 0 \qquad i \neq m$$

те же самые рассуждения можно провести и для $\psi$
итого имеем

$$\operatorname{grad} \varphi = (\frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^m} \frac{\partial \zeta^m}{\partial x^1},...,\frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^m} \frac{\partial \zeta^m}{\partial x^m})$$

$$\operatorname{grad} \psi = (\frac{\partial \psi }{\partial \zeta^m} \frac{\partial \zeta^m}{\partial x^1},...,\frac{\partial \psi }{\partial \zeta^m} \frac{\partial \zeta^m}{\partial x^m})$$

отсюда коллениарность очевидна и коэффициент пропорциональности равен

$$\frac{\frac{\partial \psi }{\partial \zeta^m}}{\frac{\partial \varphi }{\partial \zeta^m}}$$

Напомним, что это и есть искомое $\theta$ на множестве $\varphi = 0$.
верны ли рассуждения?

[svv]

Ну, если такой диффеоморфизм существует , то да.

По поводу строгого обоснования — это я с Вами должен советоваться, потому что я не математик. Я себя убедил таким рассуждением. Пусть в точке $a$ с координатами $(a_1,...,a_m)$ имеем $\varphi=0$ и, следовательно, $\psi=0$, однако $\operatorname{grad}\varphi\neq 0$. Допустим, ${\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^i}}\neq 0$. Тогда
$\dfrac{\frac{\partial \psi}{\partial \zeta^i}}{\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta^i}}=\lim\limits_{\zeta\to a}\frac{\psi(\zeta)}{\varphi(\zeta)}$
по правилу Лопиталя. Значит, аналогичное отношение других компонент (если они не равны нулю) даст то же значение.

[kp9r4d]

svv в сообщении #852791 писал(а):

Ну, если такой диффеоморфизм существует , то да.

Существует, существует! Достаточно взять

$$ \begin{cases} \zeta^i = x^i - x_0^i \qquad i \neq m\\ \zeta^i = \varphi(x) \qquad i = m\\ \end{cases} $$

ваше решение мне очень понравилось, я не помню задачи, где нужно было бы читать правило Лопиталя «с другой стороны». Спасибо вам!