2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка матожидания по квадратам
Сообщение09.04.2014, 10:05 


07/03/11
690
Пусть имеется выборка $\{X_1, X_2,\ldots ,X_n\}$, построенная по закону: $$X_i = \xi ^2_i + \varepsilon _i,$$где $\xi _i\sim N(\mu ,\sigma ^2), \varepsilon _i\sim N(0, \sigma _\varepsilon ^2)$; известно только $\sigma _\varepsilon$. Все переменные независимы. Как оценить $\mu $ по этой выборке?
Пусть также имеется другая выборка $\{Y_1,Y_2,\ldots ,Y_n\}$ такого же объёма, где $Y_i=\xi _i$. Правда ли, что наилучшая оценка $\mu$ среди этих двух выборок будет среднее $Y$-ов?
ММ:
$$\overline X=E(\xi ^2 +\varepsilon )=\mu ^2 +\sigma ^2\Rightarrow \sigma ^2 = \overline X - \mu ^2$$
$$\overline {X^2}=E(\xi ^2 +\varepsilon )^2=E\xi ^4 + E\varepsilon ^2=\mu ^4 +6\mu ^2\sigma ^2 +3\sigma ^4 + \sigma _\varepsilon ^2\Rightarrow $$$$\mu =2^{-\frac 14}(3\overline X^2-\overline {X^2}+\sigma _\varepsilon ^2)^\frac 14$$где я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.04.2014, 10:12 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.04.2014, 19:09 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение09.04.2014, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
vlad_light в сообщении #847467 писал(а):
где я ошибся?

В первом равенстве каждой из первых двух формул, разумеется.

-- Чт апр 10, 2014 00:36:55 --

(Оффтоп)

И, уж если формально, из карантина тема возвращена напрасно. То, что написано, не имеет никакого отношения к тому, что спрашивалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение09.04.2014, 21:02 


07/03/11
690
--mS-- в сообщении #847593 писал(а):
В первом равенстве каждой из первых двух формул, разумеется.

Можно по-подробнее, пожалуйста? Пусть $X$ имеет некоторое распределение, которое зависит от параметров $\mu$ и $\sigma ^2$. Тогда $$\mu _1 = EX=E(\xi ^2 +\varepsilon )=E\xi ^2 +E\varepsilon = D\xi + (E\xi )^2 + 0=\sigma ^2 + \mu ^2=g_1(\mu ,\sigma ^2 )$$$$\mu _2=EX^2=E(\xi ^2 +\varepsilon )^2=\ldots =g_2(\mu ,\sigma ^2 )$$Предположим, что $\hat \mu _j=\frac 1n \sum X_i^j$. Тогда оценкой будет решение системы уравнений:
$$
\begin{cases}
\hat \mu _1=\overline X=g_1(\hat\mu ,\hat\sigma ^2 ) \\
\hat \mu _2=\overline {X^2}=g_2(\hat\mu ,\hat\sigma ^2 )
\end{cases}
$$Что тут не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение09.04.2014, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Вот тут всё так. И Вы прекрасно понимаете, что было не так выше, раз исправили.

Только какое отношение это имеет к заданному в верхнем посте вопросу, не понимаю. Кстати, как понимать выборку игреков - наблюдаются те же самые $\xi_i$, что и в выборке иксов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение09.04.2014, 21:48 


07/03/11
690
--mS-- в сообщении #847666 писал(а):
И Вы прекрасно понимаете, что было не так выше, раз исправили.
Не понимаю... :oops: Вы про шапочки (^) что ли? При решении системы уравнений, у меня получилась отрицательная велиина под корнем. Я что-то не так посчитал или так и должно быть?
--mS-- в сообщении #847666 писал(а):
Только какое отношение это имеет к заданному в верхнем посте вопросу, не понимаю.

Мне посоветовали попробовать метод моментов, вот я его и написал.
--mS-- в сообщении #847666 писал(а):
Кстати, как понимать выборку игреков - наблюдаются те же самые $\xi_i$, что и в выборке иксов?

Да, те же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение10.04.2014, 04:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
vlad_light в сообщении #847674 писал(а):
Не понимаю... :oops: Вы про шапочки (^) что ли?

Не про шапочки, а про равенство констант и случайных величин.
vlad_light в сообщении #847674 писал(а):
При решении системы уравнений, у меня получилась отрицательная велиина под корнем. Я что-то не так посчитал или так и должно быть?

Не вижу никаких отрицательных величин. Асимптотически там под корнем $\mu^4$, как и должно быть. Кстати, это оценка не для $\mu$, но для $|\mu|$.
vlad_light в сообщении #847674 писал(а):
Мне посоветовали попробовать метод моментов, вот я его и написал.

Тогда я не понимаю, при чём тут вообще иксы. Наблюдается выборка из игреков: $Y_i=\xi_i$. Ещё наблюдается выборка из $X_i=Y_i^2+\varepsilon_i$, т.е., на самом деле, выборка из $\varepsilon_i=X_i-Y_i^2$. Эта выборка никакого отношения к $\mu$ и $\sigma$ не имеет, никакой новой информации про них дать не может. Даже более того: по выборке иксов даже знак $\mu$ угадать нельзя. Зачем нам по ней оценивать параметры?

Повторю на всякий случай вопрос: $\xi_i$ в обеих выборках одинаковы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение19.04.2014, 19:56 


07/03/11
690
--mS-- в сообщении #847804 писал(а):
Не вижу никаких отрицательных величин.
Получается, что $\hat {|\mu |}=2^\frac 14(3\overline X^2-\overline {X^2}+\sigma ^2_\varepsilon)^\frac 14$; мне не понятно, почему $3\overline X^2-\overline {X^2}+\sigma ^2_\varepsilon \geqslant 0$?
--mS-- в сообщении #847804 писал(а):
Повторю на всякий случай вопрос: $\xi_i$ в обеих выборках одинаковы?
Да, одинаковые. Теперь у меня ещё два вопроса:
1. Пусть $y_i=\xi _i+\varepsilon _i ; x_i=\xi _i + \delta _i$, где все величины независимы, добавки нормальные с нулевым средним и известными дисперсиями. Нужно оценить $\mu _\xi$. Рассматриваю 2 оценки (по $x$ и по $y$). Мне кажется, что лучшей будет та оценка, для которой дисперсия добавки меньше, поскольку:
$D\overline y = \frac {1}{n^2}D\sum y_i=\frac {1}{n^2}\sum Dy_i=\frac {1}{n^2}nDy_1=\frac {1}{n}(\sigma _\xi ^2+\sigma _\varepsilon ^2)$; аналогично для $D\overline x$. Тогда $D\overline y > D\overline x\Leftrightarrow \sigma _\varepsilon ^2> \sigma _\delta ^2$ так?
1.а Данная оценка наилучшая?
2. Пусть $y_i =\xi _i^2+\varepsilon _i$, $x$ и всё остальное -- такое же.
2.а Есть ли смысл оценивать $\mu _\xi$ отлично от $\overline X$ при условии $\sigma _\varepsilon ^2 > \sigma _\delta ^2$? А если $<$?
2.б $Ey=Ey^2+E\varepsilon = \mu _\xi ^2 +\sigma _\xi ^2$, т.е. при известном $\mu _\xi $ одной из оценок $\sigma _\xi ^2$ будет $\hat {\sigma ^2} =\overline y-\mu _\xi ^2$. Как сравнить эту оценку с $\hat \sigma ^2_{\mathrm {naive}}$? (У меня возникли трудности с подсчётом $D\hat \sigma _\xi $)
И, кстати, большое спасибо за предыдущие разъяснения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение19.04.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
vlad_light в сообщении #851871 писал(а):
мне не понятно, почему $3\overline X^2-\overline {X^2}+\sigma ^2_\varepsilon \geqslant 0$?

А кто Вам сказал, что оно неотрицательно? Оно асимптотически неотрицательно! Вы говорили, что эта случайная величина отрицательна, что заведомо не так. На конкретных выборках, при конечном $n$, разумеется, может и отрицательные значения принимать, точно так же как и $\overline X$ в первом уравнении $\overline X=\hat\mu^2+\hat\sigma^2$. Ну так глупая постановка - глупые оценки.

vlad_light в сообщении #851871 писал(а):
Теперь у меня ещё два вопроса:
1. Пусть $y_i=\xi _i+\varepsilon _i ; x_i=\xi _i + \delta _i$, где все величины независимы, добавки нормальные с нулевым средним и известными дисперсиями. Нужно оценить $\mu _\xi$.
1.а Данная оценка наилучшая?

Разумеется, нет. Возьмите полусумму этих оценок и убедитесь, что её дисперсия равна $\sigma_\xi^2+\dfrac{\sigma^2_\varepsilon+\sigma^2_\delta}{4}$, что вполне может быть меньше дисперсий обеих оценок.

2 и далее - не знаю. Вы задаёте вопросы, для ответа на которые нужно проделать кучу работы. А что-то мне не очень хочется выполнять чужую работу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка матожидания по квадратам
Сообщение20.04.2014, 00:12 


07/03/11
690
--mS-- в сообщении #851921 писал(а):
что вполне может быть меньше дисперсий обеих оценок.
Действительно, не подумал...
--mS-- в сообщении #851921 писал(а):
вопросы, для ответа на которые нужно проделать кучу работы.
Этого ответа мне вполне достаточно! Я просто предположил, что существует какое-то тривиальное решение, которого я не увидел.
Ещё раз спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group