Независимость произведения случайных величин

[MaxWriter]

Проверьте, пожалуйста, правильность рассуждений при решении задачи.

Условие: Дана последовательность $\xi_1 ,\xi_2 , \cdots , \xi_n $ независимых случайных величин которые одинаково распределены, причем $P(\xi_1 = 1)=P(\xi_1 = -1)=1/2$. Обозначим $\zeta_n = \prod\limits_{i=1}^{n}\xi_i$. Доказать, что последовательность $\zeta_n, n>0$ независима в совокупности.

Мое решение: Надо показать, что для любых чисел $a_1,...,a_n$ $P(\zeta_1=a_1,\zeta_2=a_2,...,\zeta_n=a_n)=P(\zeta_1=a_1)P(\zeta_2=a_2)\cdot ... \cdot P(\zeta_n=a_n)$. Учитывая, что $\zeta_n = \prod\limits_{i=1}^{n}\xi_i$, имеем:
$P(\zeta_1=a_1,\zeta_2=a_2,...,\zeta_n=a_n)=P(\xi_1=a_1,\xi_2=\frac{a_2}{a_1},...,\xi_n=\frac{a_n}{a_{n-1}})$ .

Так как $\xi_i$ - независимы, то:

$$P(\xi_1=a_1,\xi_2=\frac{a_2}{a_1},...,\xi_n=\frac{a_n}{a_{n-1}})=P(\xi_1=a_1)P(\xi_2=\frac{a_2}{a_1})...P(\xi_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}).$$

Но мы имеем, что $\xi_1=\zeta_1,\xi_2=\frac{\zeta_2}{\zeta_1},...,\xi_n=\frac{\zeta_n}{\zeta_{n-1}}$ поэтому

$$P(\xi_1=a_1)P(\xi_2=\frac{a_2}{a_1})...P(\xi_n=\frac{a_n}{a_{n-1}})=P(\zeta_1=a_1)P(\zeta_2=\frac{a_2}{a_1}\cdot \zeta_1)...P(\zeta_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}\cdot \zeta_{n-1})=$$

$= P(\zeta_1=a_1)P(\zeta_2=a_2)\cdot ... \cdot P(\zeta_n=a_n)$.

Получается что так?

[Brukvalub]

А вам не кажется "подозрительным" то, что вы никак не использовали существенную часть условия? Советую вам внимательнее присмотреться к последним "равенствам" в вашем "доказательстве".

[MaxWriter]

Brukvalub в сообщении #851235 писал(а):

А вам не кажется "подозрительным" то, что вы никак не использовали существенную часть условия? Советую вам внимательнее присмотреться к последним "равенствам" в вашем "доказательстве".

Да, кажется, поэтому и ищу пробел в рассуждениях.

[MaxWriter]

Натолкните, пожалуйста, на идею, пока не могу сам разобраться...

[--mS--]

Наталкиваю. Какие значения могут принимать Ваши $a_i$? Много ли их?

-- Пт апр 18, 2014 22:00:12 --

MaxWriter в сообщении #851239 писал(а):

Brukvalub в сообщении #851235 писал(а):

Советую вам внимательнее присмотреться к последним "равенствам" в вашем "доказательстве".

Да, кажется, поэтому и ищу пробел в рассуждениях.

Пробел в последнем равенстве ((с) КО).

[MaxWriter]

--mS-- в сообщении #851392 писал(а):

Наталкиваю. Какие значения могут принимать Ваши $a_i$? Много ли их?

Все числа $a_{i}\in \{-1;1\}$ - принимают два значения, тогда и все отношения вида $\frac{a_{i}}{a_{i-1}} \in \{-1;1\}$; случайные величины $\zeta_{i}$ принимают значения в $\{-1;1\}$. Получается, что надо доказать:

$$P(\zeta_1=\pm 1)P(\zeta_2=\pm 1 \cdot \zeta_1)...P(\zeta_n=\pm 1 \cdot \zeta_{n-1})=P(\zeta_1=\pm 1)P(\zeta_2=\pm 1)\cdot ... \cdot P(\zeta_n=\pm 1)$$

Либо, что $P(\zeta_{i-1}=\pm 1 \cdot \zeta_{i})=P(\zeta_{i}=\pm 1)$ для каждого множителя. Так? Или я опять что-то напутал?

[--mS--]

MaxWriter в сообщении #851551 писал(а):

Получается, что надо доказать:

$$P(\zeta_1=\pm 1)P(\zeta_2=\pm 1 \cdot \zeta_1)...P(\zeta_n=\pm 1 \cdot \zeta_{n-1})=P(\zeta_1=\pm 1)P(\zeta_2=\pm 1)\cdot ... \cdot P(\zeta_n=\pm 1)$$

Нет, доказать нужно не это. $a_i$ - числа, а не множества. А у Вас написано тождество $1=1$.

MaxWriter в сообщении #851551 писал(а):

Либо, что $P(\zeta_{i-1}=\pm 1 \cdot \zeta_{i})=P(\zeta_{i}=\pm 1)$ для каждого множителя.

Возьмите либо плюс, либо минус. И почему это равенство верно?

[MaxWriter]

--mS-- в сообщении #851577 писал(а):

MaxWriter в сообщении #851551 писал(а):

Либо, что $P(\zeta_{i-1}=\pm 1 \cdot \zeta_{i})=P(\zeta_{i}=\pm 1)$ для каждого множителя.

Возьмите либо плюс, либо минус. И почему это равенство верно?

Пусть будет плюс.

$$P(\zeta_i = \zeta_{i-1})=P(\zeta_i =1, \zeta_{i-1}=1)+P(\zeta_i =-1, \zeta_{i-1}=-1)=P(\zeta_{i-1} =1, \xi_{i}=1)+P(\zeta_{i-1} =-1, \xi_{i}=1)=$$

$=\frac{1}{2}P(\zeta_{i-1} =1)+\frac{1}{2}P(\zeta_{i-1} =-1).$
Тогда, учитывая, что $P(\xi_i = 1)=P(\xi_i = -1)= \frac{1}{2}$ можна записать :

$$\frac{1}{2}P(\zeta_{i-1} =1)+\frac{1}{2}P(\zeta_{i-1} =-1) = P(\zeta_{i-1} =1)P(\xi_i = 1)+ P(\zeta_{i-1} =-1)P(\xi_i = -1)=$$

$=P(\zeta_{i-1} =1, \xi_{i}=1)+P(\zeta_{i-1} =-1, \xi_{i}=-1)=P(\zeta_i = 1)$

Так будет правильно?

[--mS--]

Другое дело. Кстати, обратите внимание, что независимость в совокупности событий $A_1,\ldots, A_n$ влечёт независимость в совокупности событий $B_1,\ldots,B_n$, где $B_i$ - это либо $A_i$, либо $\overline {A_i}$. Поэтому для доказательства независимости $\zeta_i$ достаточно было показать, что

$$\mathsf P(\zeta_1=1,\zeta_2=1,\ldots,\zeta_n=1)=\mathsf P(\zeta_1=1)\mathsf P(\zeta_2=1)\cdot\ldots\cdot\mathsf P(\zeta_n=1).$$

[MaxWriter]

--mS--

Спасибо за помощь и указания!