Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка

[dinamo-3]

Есть такое хитрое диф.уравнение:
$2\cdot a\cdot((x')^2-a\cdot x'')-2\cdot b\cdot d\cdot(x')^3=0$
Всё бы было просто, если бы небыло степеней у $x'$
Как можно разрулить эту ситуацию?

[svv]

1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

2) Ну, на двойку-то можно было сократить? Не говоря о том, чтобы уменьшить количество констант.

3) В дифференциальных уравнениях сбивает с толку буква $d$, употребленная не в качестве дифференциала или производной.

4) Почему Вы так назвали тему?

[Brukvalub]

А каким боком в заголовке упомянуто "характеристическое уравнение..."? Для пущего наукообразия?

[Pphantom]

Вообще-то характеристическое уравнение имеет смысл для линейного дифференциального уравнения. Ваше таковым не является, так что...

[ИСН]

Буквы слов толкают людей в пропасть. Буква $b$. Буква $d$. Буква $2$. Для чего они? Зачем Вы их сюда принесли? Вот то-то и оно.

[dinamo-3]

Pphantom в сообщении #850932 писал(а):

Вообще-то характеристическое уравнение имеет смысл для линейного дифференциального уравнения. Ваше таковым не является, так что...

Оно не линейное, но какое? Где искать путь к решению? Заранее благодарен.

[provincialka]

dinamo-3 в сообщении #851303 писал(а):

Оно не линейное, но какое? Где искать путь к решению?

svv в сообщении #850921 писал(а):

1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

[dinamo-3]

svv в сообщении #850921 писал(а):

1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

2) Ну, на двойку-то можно было сократить? Не говоря о том, чтобы уменьшить количество констант.

3) В дифференциальных уравнениях сбивает с толку буква $d$, употребленная не в качестве дифференциала или производной.

4) Почему Вы так назвали тему?

Ну да, с двойкой я лошанулся, да и $b\cdot d$ тоже не очень.
Подкорректированное изначальное уравнение : $a\cdot((x')^2-a\cdot x'')-b\cdot(x')^3=0$
Теперь заменим: $y=x' , y'=x''$ и получим $a\cdot(y^2-a\cdot y')-b\cdot y^3=0$, но это же не линейное ДУ?
А тему назвал так, что не понимал различие диф.уравнений по категориям или как они делятся?

[Ms-dos4]

А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной

[provincialka]

Ms-dos4, я тоже сначала так хотела. Но вообще-то это уравнение с разделяющимися переменными.
dinamo-3, на $a$ тоже можно было все поделить.

[Ms-dos4]

provincialka

(Оффтоп)

Серьёзно? Я и не заметил. Но что то мне подсказывает, что аналитически вы $\[y(t)\]$ не получите, у меня (после преобразования годографа) выходит $\[t = C - \frac{a}{y} + b\ln \frac{y}{{a - by}}\]$, т.е. y в явном виде не получить.

(доб.)А, ну да, обычное тоже к тому же приводится.

[dinamo-3]

Ms-dos4 в сообщении #851309 писал(а):

А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной

Спасибо за помощь, пойду решать.

-- 18.04.2014, 14:03 --

provincialka в сообщении #851311 писал(а):

Ms-dos4, я тоже сначала так хотела. Но вообще-то это уравнение с разделяющимися переменными.
dinamo-3, на $a$ тоже можно было все поделить.

Верно, после деления получим:
$y^2-\frac{a}{t'}-b\cdot y^3=0$, где $b=\frac{b\cdot d}{a}$

[dinamo-3]

Ms-dos4 в сообщении #851309 писал(а):

А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной

Решение:
Исходное : $a\cdot(y^2-\frac{a}{t'})-b\cdot y^3=0$
Раскроем скобки : $a\cdot y^2-\frac{a^2}{t'}-b\cdot y^3=0$
Находим $t'$ :       $t'=\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}$
Проинтегрируем : $\int t'=\int\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}dy$       Вот здесь наступил ступор. Как решать дальше?

[Ms-dos4]

Интегралы то возьмите (и ещё, вот как вы дифференциалы разделили, а слева остался $\[t'\]$? Там $\[dt\]$)

[dinamo-3]

Ms-dos4 в сообщении #851408 писал(а):

Интегралы то возьмите (и ещё, вот как вы дифференциалы разделили, а слева остался $\[t'\]$? Там $\[dt\]$)

Да, там ошибка.
$\frac{dt}{dy}=\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}$
$\int dt=\int \frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}dy$
$\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}=\frac{b\cdot y+a}{y^2}+\frac{b^2}{a-b\cdot y}$
$t=\int \frac{b\cdot y+a}{y^2}dy+\int \frac{b^2}{a-b\cdot y}dy=b\cdot\int \frac{dy}{y}+a\cdot\int\frac{dy}{y^2}+b^2\cdot\int\frac{dy}{a-b\cdot y}=b\cdot\ln\left |\frac{y}{a-b\cdot y}\right |-\frac{a}{y}+C$
А теперь нужно взять обратную функцию для $t(y)$, т.е. $y(t)= ...$ и реально ли её можно взять?