GF(q)

[eremelis]

Имеются таблицы сложения и умножения.
Как по ним определить мощность поля?

[Brukvalub]

Если речь идет о таблице сложения конечного поля, то число строк в этой таблице и равно мощности поля.

[eremelis]

Спасибо. Значит, $q=128$.
Объясните, пожалуйста, почему $7\cdot 5=27$?

[Brukvalub]

eremelis в сообщении #851254 писал(а):

Спасибо. Значит, $q=128$.
Объясните, пожалуйста, почему $7\cdot 5=27$?

В конечных полях бывает даже так, что $1+1=0$

[eremelis]

Ну насчет сложения я знаю, что $a+b=a\oplus b$.
А как сделать таблицу умножения?

[Brukvalub]

Конечное поле задается определением. В определении обязательно оговаривается, как в поле устроены законы сложения и умножения. Составляйте таблицу умножения, руководствуясь этим определением.

[VAL]

eremelis в сообщении #851366 писал(а):

Ну насчет сложения я знаю, что $a+b=a\oplus b$.
А как сделать таблицу умножения?

Существуют разные способы.
Наиболее распространено представление элементов конечных полей с помощью полиномиального базиса.

Для этого нужно взять неприводимый над $\mathbb Z_p$ многочлен соответствующей степени. В Вашем случае подойдет, например, полином $p(x)=x^7+x+1$.
Каждый элемент поля представляется в виде $c_0+c_1\alpha+\dots+c_6\alpha^6$, где $c_i$ берутся из $\mathbb Z_2$.
Складываются элементы обычным образом (с приведением коэффициентов по модулю 2).
При перемножении достаточно перемножать их как полиномы и воспользоваться тождеством $\alpha^7=\alpha+1$