111...1555...6 - точный квадрат

[juna]

Возьмем число $16$ - это квадрат.
Поместим в середину между его цифр число $15$, получим $1156$ - точный квадрат,
еще раз поместим $15$, получим $111556$ - точный квадрат и т.д.
Докажите, что всегда будем получать точный квадрат.

[lexus c.]

Очень легко решается по индукции.
Достаточно заметить, что числа вида

\[1\underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_n6\]

с n "вложениями" являются квадратами чисел вида

\[ \underbrace {3...3}_n4 \]

[juna]

Заметить это легко. Осталось доказать по индукции.

[Руст]

Это видно и без индукции $(\frac{10^n+2}{3})^2=\frac{10^{2n}+4*10^n+4}{9}=1+5*\frac{10^n-1}{9}+\frac{10^{2n}-10^n}{9}.$

[lexus c.]

Для i=0 всё очевидно (

\[ 4 \cdot 4 = 16 \]

).
Пусть для i=n это верно.
Рассмотрим случай i=n+1:

\[ \underbrace {3...3}_{n + 1}4 = 3 \cdot 10^{n + 1} + \underbrace {3...3}_n4 \]

\[ \underbrace {3...3}_n4^2 = 1\underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_n6 \]

\[ \underbrace {3...3}_{n + 1}4^2 = (3 \cdot 10^{n + 1} + \underbrace {3...3}_n4)^2 = 9\underbrace {0...0}_{2n + 2} + 1\underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_n6 + 6\underbrace {0...0}_{n + 1} \cdot \underbrace {3...3}_n4 \]

Разберёмся с последним членом (с помощью, например, умножения столбиком):

\[ 6\underbrace {0...0}_{n + 1} \cdot \underbrace {3...3}_n4 = 2\underbrace {0...0}_n4\underbrace {0...0}_{n + 1} \]

Теперь окончательно найдём сумму:

\[ \begin{gathered} \underbrace {3...3}_{n + 1}4^2 = 9\underbrace {0...0}_{2n + 2} + 1\underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_n6 + 2\underbrace {0...0}_n4\underbrace {0...0}_{n + 1} = 9\underbrace {0...0}_{2n + 2} + 2\underbrace {0...0}_{2n + 2} + \underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_{n + 1}6 = \hfill \\ 11\underbrace {0...0}_{2n + 2} + \underbrace {1...1}_n\underbrace {5...5}_{n + 1}6 = \underbrace {1...1}_{n + 2}\underbrace {5...5}_{n + 1}6 = 1\underbrace {1...1}_{n + 1}\underbrace {5...5}_{n + 1}6 \hfill \\ \end{gathered} \]

Ч.Т.Д.

[juna]

Остается добавить, что задачка взята из книжки Кордемского "Математическая смекалка". Приведенное там решение совпадает с решением Руста