Неопр. интеграл

[Ssheh]

Здравствуйте, помогите пожалуйста найти хорошую замену для :
$\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx$
Пытался интегрировать по частям взяв за $v'=\sqrt{x-x^2}$ и получил $\int \frac{4\sqrt{x-x^2}}{(1-2x)^2}dx$, но по-моему стало еще хуже, а приличной замены никак не могу найти.

[Dan B-Yallay]

Ssheh в сообщении #851049 писал(а):

помогите пожалуйста найти хорошую замену

$$u=\sqrt{1-x}$$

?

[provincialka]

Это диф. бином.

[Ms-dos4]

Замена $\[\sqrt {x - {x^2}} = \xi x\]$ приведёт к известному $\[ - 2\int {\frac{{d\xi }}{{{\xi ^2} + 1}}} \]$

[provincialka]

Dan B-Yallay, тогда уж $\sqrt x=t$, то же самое, но проще.

[Ssheh]

Dan B-Yallay в сообщении #851051 писал(а):

Ssheh в сообщении #851049
писал(а):
помогите пожалуйста найти хорошую замену

$$u=\sqrt{1-x}$$

?

Если я не ошибаюсь, то получается тоже от чего мы и отошли, т.е $\int \frac{-1}{\sqrt{(1-t)t}}dt$, где $t=1-x$ $dx=-dt$

[provincialka]

Ошибаетесь. Вам не такую замену предложили.

[Ssheh]

provincialka в сообщении #851070 писал(а):

Ошибаетесь. Вам не такую замену предложили.

Да, точно, спасибо, все получилось совсем просто$\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx=(({{U=\sqrt{x}, dx=2U}}))=\int \frac{2}{\sqrt{1-U^2}}dU=2\arcsin U=2\arcsin\sqrt{x}$

[provincialka]

Несколько неаккуратно записано, но в целом верно.

[Dan B-Yallay]

плюсЦэ

[Brukvalub]

Вообще-то такие интегралы обычно берут выделением полного квадрата под корнем...

[provincialka]

Да, конечно. Но ответ получится гораздо более корявый

[Brukvalub]

Зато думать не нужно..

[provincialka]

а вообще интересно получается: такие разные на вид функции отличаются лишь на константу. Можно поудивлять студиозусов.

[ewert]

provincialka в сообщении #851202 писал(а):

Можно поудивлять студиозусов.

Для этого достаточно посчитать интеграл от синуса на косинус.