2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение17.04.2014, 18:39 


20/03/14
90
Есть такое хитрое диф.уравнение:
$2\cdot a\cdot((x')^2-a\cdot x'')-2\cdot b\cdot d\cdot(x')^3=0$
Всё бы было просто, если бы небыло степеней у $x'$
Как можно разрулить эту ситуацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение17.04.2014, 18:44 
Заслуженный участник


23/07/08
9041
Харьков
1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

2) Ну, на двойку-то можно было сократить? Не говоря о том, чтобы уменьшить количество констант.

3) В дифференциальных уравнениях сбивает с толку буква $d$, употребленная не в качестве дифференциала или производной.

4) Почему Вы так назвали тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение17.04.2014, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13617
Москва
А каким боком в заголовке упомянуто "характеристическое уравнение..."? Для пущего наукообразия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение17.04.2014, 18:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23563
Кронштадт
Вообще-то характеристическое уравнение имеет смысл для линейного дифференциального уравнения. Ваше таковым не является, так что...

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение17.04.2014, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13373
с Территории
Буквы слов толкают людей в пропасть. Буква $b$. Буква $d$. Буква $2$. Для чего они? Зачем Вы их сюда принесли? Вот то-то и оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:12 


20/03/14
90
Pphantom в сообщении #850932 писал(а):
Вообще-то характеристическое уравнение имеет смысл для линейного дифференциального уравнения. Ваше таковым не является, так что...
Оно не линейное, но какое? Где искать путь к решению? Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12016
Казань
dinamo-3 в сообщении #851303 писал(а):
Оно не линейное, но какое? Где искать путь к решению?

svv в сообщении #850921 писал(а):
1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:27 


20/03/14
90
svv в сообщении #850921 писал(а):
1) Так как уравнение не содержит $x(t)$ без производных, можно принять в качестве новой неизвестной $y(t)=x'(t)$.

2) Ну, на двойку-то можно было сократить? Не говоря о том, чтобы уменьшить количество констант.

3) В дифференциальных уравнениях сбивает с толку буква $d$, употребленная не в качестве дифференциала или производной.

4) Почему Вы так назвали тему?

Ну да, с двойкой я лошанулся, да и $b\cdot d$ тоже не очень.
Подкорректированное изначальное уравнение : $a\cdot((x')^2-a\cdot x'')-b\cdot(x')^3=0$
Теперь заменим: $y=x' , y'=x''$ и получим $a\cdot(y^2-a\cdot y')-b\cdot y^3=0$, но это же не линейное ДУ?
А тему назвал так, что не понимал различие диф.уравнений по категориям или как они делятся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:33 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12016
Казань
Ms-dos4, я тоже сначала так хотела. Но вообще-то это уравнение с разделяющимися переменными.
dinamo-3, на $a$ тоже можно было все поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 14:44 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
provincialka

(Оффтоп)

Серьёзно? Я и не заметил. Но что то мне подсказывает, что аналитически вы $\[y(t)\]$ не получите, у меня (после преобразования годографа) выходит $\[t = C - \frac{a}{y} + b\ln \frac{y}{{a - by}}\]$, т.е. y в явном виде не получить.

(доб.)А, ну да, обычное тоже к тому же приводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 15:00 


20/03/14
90
Ms-dos4 в сообщении #851309 писал(а):
А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной
Спасибо за помощь, пойду решать.

-- 18.04.2014, 14:03 --

provincialka в сообщении #851311 писал(а):
Ms-dos4, я тоже сначала так хотела. Но вообще-то это уравнение с разделяющимися переменными.
dinamo-3, на $a$ тоже можно было все поделить.

Верно, после деления получим:
$y^2-\frac{a}{t'}-b\cdot y^3=0$, где $b=\frac{b\cdot d}{a}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 18:07 


20/03/14
90
Ms-dos4 в сообщении #851309 писал(а):
А теперь финт ушами - решаете уравнение относительно $\[t\]$ а не $\[y\]$ (т.е. теперь $\[y\]$ независимая переменная, $\[t(y)\] $ - искомая функция)
$\[a \cdot ({y^2} - \frac{a}{{t'}}) - b{y^3} = 0\]$
После решения (оно решается, переменные отделяются) находите обратную функцию (видимо, аналитически это невозможно) и возвращаетесь к исходной переменной

Решение:
Исходное : $a\cdot(y^2-\frac{a}{t'})-b\cdot y^3=0$
Раскроем скобки : $a\cdot y^2-\frac{a^2}{t'}-b\cdot y^3=0$
Находим $t'$ :       $t'=\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}$
Проинтегрируем : $\int t'=\int\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}dy$       Вот здесь наступил ступор. Как решать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение18.04.2014, 18:18 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Интегралы то возьмите (и ещё, вот как вы дифференциалы разделили, а слева остался $\[t'\]$? Там $\[dt\]$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристическое уравнение для ДУ 2-го порядка
Сообщение21.04.2014, 08:10 


20/03/14
90
Ms-dos4 в сообщении #851408 писал(а):
Интегралы то возьмите (и ещё, вот как вы дифференциалы разделили, а слева остался $\[t'\]$? Там $\[dt\]$)

Да, там ошибка.
$\frac{dt}{dy}=\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}$
$\int dt=\int \frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}dy$
$\frac{a^2}{a\cdot y^2-b\cdot y^3}=\frac{b\cdot y+a}{y^2}+\frac{b^2}{a-b\cdot y}$
$t=\int \frac{b\cdot y+a}{y^2}dy+\int \frac{b^2}{a-b\cdot y}dy=b\cdot\int \frac{dy}{y}+a\cdot\int\frac{dy}{y^2}+b^2\cdot\int\frac{dy}{a-b\cdot y}=b\cdot\ln\left |\frac{y}{a-b\cdot y}\right |-\frac{a}{y}+C$
А теперь нужно взять обратную функцию для $t(y)$, т.е. $y(t)= ...$ и реально ли её можно взять?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group