Свертка квадратично суммируемых квадратично суммируема?

[Divergence]

Как доказать, что если $a(n), b(n) \in l_2(\mathbb{R})$
т.е. квадратично суммируемые последовательности
$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |a(n)|^2 < \infty \quad \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)|^2 < \infty $
то и последовательность
$ c(n)= \sum^{\infty}_{m=-\infty \ m \ne n} b(n-m) \, a(m) $
тоже квадратично суммируемая?

Если это утверждение неверно, то каким условиям должна удовлетворять
последовательность $b(n-m)$ чтобы при квадратичной суммируемости $a(n)$
последовательность $b(n)$ была квадратично суммируемой, и как доказать?
Заранее спасибо.

[g______d]

В терминах пространств $l_p$ ответ: $l_2$ недостаточно, нужно $l_1$.

Точное условие: последовательность должна быть последовательностью коэффициентов Фурье ограниченной функции на окружности.

[Divergence]

Спасибо за ответ. То есть для $b(n)$ должно
$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)| < \infty $
А доказать то как, что в этом случае
из $a(n) \in l_2$ имеем $c(n) \in l_2$?

[Divergence]

Не подскажите точную ссылку, где прописано это точное условие?

[g______d]

Divergence в сообщении #850394 писал(а):

$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} |b(n)| < \infty $
А доказать то как, что в этом случае
из $a(n) \in l_2$ имеем $c(n) \in l_2$?

Неравенство Юнга для свертки, http://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_ ... nvolutions

Divergence в сообщении #850438 писал(а):

Не подскажите точную ссылку, где прописано это точное условие?

Условие с преобразованием Фурье я сразу не нашел. В одну сторону очевидно, поскольку умножение на ограниченную функцию является ограниченным оператором в $L_2$ на окружности, преобразование Фурье переводит умножение в свертку и $L_2$ в $l_2$.

В другую тоже должно быть верно, но я пока не могу найти.

[Divergence]

Спасибо за ссылку.
Спасибо за ссылку туда, даже без ссылки обратно.