Задание по дифф геометрии

[svv]

Точно.

[loshka]

вот не люблю я эти векторные уравнения, плохо в них ориентируюсь
Теперь переходя к координатам получается $((x+y)^2)'=\sqrt{x^2+y^2} \cos(a)$ ???


ой глупость какую написал будет $(x^2+y^2)'=\sqrt{x^2+y^2} \cos(a)$

[svv]

... и двойка там ещё.

Рано, рано, погодите.
Замысел такой был:
$2\mathbf r\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=\frac{d}{ds}(\mathbf r^2)=\frac{d}{ds}(r^2)=2r\frac {dr}{ds}$
А правая часть равна $2r\cos\alpha$, откуда
$\frac{dr}{ds}=\cos\alpha$
Вы получите простое уравнение только в полярных координатах. Надо вспомнить, чему равен элемент длины $ds$ в полярных координатах и упростить это уравнение.

[loshka]

не понял, в правой части стоит $|\mathbf r|$ как так получается, что мы забываем, что там длина вектора

[svv]

Полярная координата $r$ некоторой точки — это в точности длина радиус-вектора $\mathbf r$ этой точки:
$r=|\mathbf r|$

[loshka]

как это однако круто получается

тогда получается $\frac {dr}{\sqrt{r^2+(r'}^2)dP}=\cos(a)$

P-угол не знаю как написать букву "фи"

Я походу, что-то неправильно написал

-- 15.04.2014, 02:34 --

что-то не получается из под корня адекватно вытащить дифференциал, что бы интегралы подсчитать

[svv]

\phi — код проще, $\phi$ некрасивая
\varphi — код сложнее, $\varphi$ красивая

Да. Это можно записать и так:
$\dfrac {\frac{dr}{d\varphi}}{\sqrt{r^2+(r')^2}}=\cos \alpha$
Нет ли здесь одной и той же штуки, которая обозначена двумя разными способами?

-- Вт апр 15, 2014 01:37:30 --

loshka в сообщении #849982 писал(а):

что-то не получается из под корня адекватно вытащить дифференциал

Под корнем $d\varphi$ не стояло. В знаменателе было $ds=\sqrt{r^2+r'^2}\;d\varphi$, где $d\varphi$ вне корня.

-- Вт апр 15, 2014 01:46:26 --

loshka
Моё детское время закончилось, мне пора спать. Напутствие такое: выразить из этого уравнения $r'$, тем самым Вы получите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (очень простое, если всё вовремя упрощать).

[loshka]

да, так получается $\frac{r'}{\sqrt{r^2+(r')^2}}=\cos(a)$

получается
$(r')^2=\cos^2(a)(r^2+(r'))^2$
$(r')^2(1-\cos^2(a))=\cos^2(a)r^2$
$\frac {dr}{r}\sqrt{1-\cos^2(a)}=\cos(a)d\varphi$

Потом интегрируем и будет мне счастье?

-- 15.04.2014, 02:52 --

Спасибо Вам большое svv
У меня уже 5 утра, буду дорешивать и браться за следующую задачу, ведь уже через 7 часов сдавать

[svv]

А упростить $\sqrt{1-\cos^2\alpha}$?
Должен быть инстинкт всё упрощать (кроме некоторых особых случаев, когда это не надо делать). Иначе не Вы одолеете сложность, а она Вас.

Хорошо, спокойной ночи.

[loshka]

$\sin(a)$
А потом еще и к $\tg(a)$ упростить
Спокойной ночи.

[svv]

В правой части котангенс. Ещё и со знаком $\pm$, который возник при взятии корня. Из
$r'^2 \sin^2 \alpha=r^2\cos^2\alpha$
следует
$r' \sin \alpha=\pm r\cos\alpha$

Кстати, это константа, которая просто выносится за интеграл.

Вы в следующий раз пораньше обращайтесь, чтобы больше времени было.

[loshka]

Спасибо огромное svv
Я подобного рода задания еще 6 недель буду сдавать, осталась еще 11 задач и чем дальше, тем они мутнее и не понятней, есть задача,которая меня только своей формулировкой пугает, "найти площадь поверхности в индуцированной метрике". Каждый раз сдаю во вторник и начинаю садиться в 12 ночи

[loshka]

Не сдал я эти 2 задачи
Просто первые несколько вопросов,который мне прилетели, звучали примерно так "А что это вообще такое, как брать интеграл по векторной функции под дифференциалом еще и кривизна стоит" "а почему ты можешь применять здесь формулу Ньютона-Лейбница, это вообще говоря криволинейный интеграл" После моей фразы, что с криволинейными интегралами я не знаком, меня отправили учить и думать дальше

А во второй вопрос,который логичен и который ночью тоже меня смутил, но я как-то забил на него в этом выражение $2\mathbf r\frac{dr}{ds}=2|r|\cos(a)$ как мы так перешли к полярным координатным и потом сократили на $r $ Хотя в левой части у нас вектор, а в правой длина вектора и при переходе к полярным, так и остается в левой вектор, в правой число, этого я не могу понять

[svv]

Очень жаль.

Начну со второго вопроса. Рассуждения были такие. Длина векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$, помимо $|\mathbf a|, |\mathbf b|, |\mathbf c|$, стандартно обозначается $a, b, c$. Соответственно, под $r$ понимается $|\mathbf r|$. Это расстояние от начала координат до точки с радиус-вектором $\mathbf r$. То есть радиальная полярная координата.

Далее, $\mathbf r^2=\mathbf r\cdot\mathbf r=r^2$ . Дифференцируя это по $s$ и сокращая на 2, получим
$\mathbf r\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=r\frac{dr}{ds}$
(слева скалярное произведение двух векторов, справа обычное произведение вещественных чисел).

С учетом этого из $\frac{\mathbf r\cdot\mathbf v}{|\mathbf r||\mathbf v|}=\cos\alpha$ получаем
$\mathbf r\cdot\mathbf v=|\mathbf r|\cos\alpha$
$\mathbf r\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}=|\mathbf r|\cos\alpha$
$r \frac{dr}{ds}=r\cos\alpha$
$\frac{dr}{ds}=\cos\alpha$

Что касается интегралов.

Цитата:

как брать интеграл по векторной функции

Нельзя путать «по» и «от». У нас интеграл от векторной функции. Он находится покомпонентно, т.е. его значением является вектор, каждая компонента которого является интегралом от соответствующей компоненты подинтегральной функции. Например, если $\mathbf n(s)=(n_1(s), n_2(s), n_3(s))$, то запись
$\mathbf p=\int\limits_{a}^{b}\mathbf n(s)\;ds$
означает
$p_1=\int\limits_{a}^{b}n_1(s)\;ds\quad\quad p_2=\int\limits_{a}^{b}n_2(s)\;ds\quad\quad p_3=\int\limits_{a}^{b}n_3(s)\;ds$

Цитата:

а почему ты можешь применять здесь формулу Ньютона-Лейбница, это вообще говоря криволинейный интеграл

Как только мы перешли к интегрированию по $s$ (т.е. переменной интегрирования стал натуральный параметр $s$), первый интеграл превратился в обычный определённый интеграл (не считая того, что подинтегральная функция векторная, но это см. выше). Так что это Вас на испуг взяли. Можно сказать (немного преувеличивая), что параметризация на кривой для того и нужна, чтобы сводить дело к обычному определенному интегралу.