Найти интеграл

[provincialka]

Ms-dos4 в сообщении #849804 писал(а):

Интересно, что "цельный" интеграл легче вычисляется, чем те, которые получились в результате разложения.

Ну, это было почти очевидно. Зачем же авторам примера "накручивать" бессмысленную сложность? Вся накрутка обычно делается как раз для упрощения.

[SlayZar]

Ms-dos4 в сообщении #849848 писал(а):

SlayZar
Как как, вы выразите $\[x\]$ через $\[t\]$. Должно получится $\[dx = \frac{{4{t^3}}}{{{{({t^4} - 1)}^2}}}dt\]$

Да, точно, спасибо.
$x=\frac{t^4}{1-t^4}$ и отсюда это равенство.

подставив и упростив получил интеграл $\int{\frac{4t^4}{(t^2-1)^2}dt}$
Решил и получил $\frac{-2t}{t^2-1}+4t+3ln(1-t)-3ln(t-1)$

Вроде бы правильно, теперь попробую обратно заменить и упростить

[provincialka]

Ой, не похоже на истину! Если под логарифмами нет модулей, то у них нет общей области определения. Если есть модули - они (логарифмы) сокращаются!

[SlayZar]

provincialka в сообщении #849867 писал(а):

Ой, не похоже на истину! Если под логарифмами нет модулей, то у них нет общей области определения. Если есть модули - они (логарифмы) сокращаются!

Да, перепутал, модули есть, но в последнем логарифме знак плюс
$\frac{-2t}{t^2-1}+4t+3ln(1-t)-3ln(t+1)$


Привёл к x первую часть (до логарифмов). Получил почти тоже самое что и Ms-dos4

Ms-dos4 в сообщении #849804 писал(а):

$$2\frac{{\sqrt[4]{x}(\sqrt {x(x + 1)} + x + 3)}}{{\sqrt[4]{{x + 1}}}} $$

Но у меня в числителе "+5" $2\frac{{\sqrt[4]{x}(\sqrt {x(x + 1)} + x + 5)}}{{\sqrt[4]{{x + 1}}}}$
Это ошибка или же это все же правильно?

[Ms-dos4]

Нет, у меня верно. $\[4t - \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}} = \frac{{2t(2{t^2} - 3)}}{{{t^2} - 1}}\]$. Подставляем x и домножаем числитель и знаменатель на $\[{{{(x + 1)}^{\frac{5}{4}}}}\]$

$\[\begin{array}{l} 2\frac{{\sqrt[4]{{\frac{x}{{x + 1}}}}(2\sqrt[2]{{\frac{x}{{x + 1}}}} - 3){{(x + 1)}^{\frac{5}{4}}}}}{{(\sqrt[2]{{\frac{x}{{x + 1}}}} - 1){{(x + 1)}^{\frac{5}{4}}}}} = 2\frac{{\sqrt[4]{x}(2\sqrt[2]{{x(x + 1)}} - 3(x + 1))}}{{\sqrt[4]{{x + 1}}[\sqrt[2]{{x(x + 1)}} - (x + 1)]}} = \\ = 2\sqrt[4]{x}\frac{{\sqrt[2]{{x(x + 1)}} + x + 3}}{{\sqrt[4]{{x + 1}}}} \end{array}\]$

(т.к $\[\frac{{2\sqrt[2]{{x(x + 1)}} - 3(x + 1)}}{{\sqrt[2]{{x(x + 1)}} - (x + 1)}} = \sqrt[2]{{x(x + 1)}} + x + 3\]$)

[Sinoid]

SlayZar в сообщении #849883 писал(а):

$\frac{-2t}{t^2-1}+4t+3ln(1-t)-3ln(t+1)$

При этом не забываем дописать...

-- 14.04.2014, 22:59 --

Ну в любом случае надо дописать...

[SlayZar]

Да, про +C опять забыл

Пересчитал, нашел у себя ошибку. Теперь тоже +3 получил.
Спасибо всем за помощь! Сосчитал до конца, ответ совпал!