Найти интеграл

[SlayZar]

Требуется посчитать такой интеграл!
$\int{(\sqrt{\frac{x}{x+1}}+1)^2 \sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}}dx$

Пробовал разложить по квадрату суммы на сумму

$\int{(\frac{x}{x+1}+2\sqrt{\frac{x}{x+1}}+1) \sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}}dx = \int{(\frac{x}{x+1})^\(\frac{5}{4}\)+\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}+2(\frac{x}{x+1})^\(\frac{3}{4}\)}dx$

Дальше пробовал делать замену, но не получилось, тогда попробовал разбить на разные интегралы:
$\int{(\frac{x}{x+1})^\(\frac{5}{4}\) dx+ 2 \int{(\frac{x}{x+1})^\(\frac{3}{4}\) dx+ \int{(\frac{x}{x+1})^\(\frac{1}{4}\)dx$

Подскажите, пожалуйста, правильный ли ход решения и как действовать дальше?

[provincialka]

Стандартный способ - обозначить корень четвертой степени за $t$ и сделать замену переменной. Но получается довольно громоздко. Впрочем, не слишком.

[SlayZar]

То есть обозначаем $t=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}$ и $dt=\frac{dx}{4t^3(x+1)^2}$

Но как тогда избавиться от $(x+1)^2$ в знаменателе dt?

[svv]

SlayZar в сообщении #849793 писал(а):

То есть обозначаем $t=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}$ и $dt=\frac{dx}{4t^3(x+1)^2}$

Уже третий раз встречаю такой прием.

[Ms-dos4]

provincialka
Может там ошибка в задании? Уж больно там много разгребать. Даже для самого простого из тех трёх интегралов у меня получилось $\[\int {{{(\frac{x}{{x + 1}})}^{\frac{1}{4}}}dx} = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{{{{(x + 1)}^3}}} - \frac{1}{2}({\mathop{\rm arctg}\nolimits} \sqrt[4]{{\frac{x}{{x+1}}}} + {\mathop{\rm arcth}\nolimits} \sqrt[4]{{\frac{x}{{x+1}}}})\]$ (это верно).

(Оффтоп)

P.S. А теперь посмеёмся над системами комп. алгебры
Mathematica 9
$\[\int {{{(\frac{x}{{x + 1}})}^{\frac{1}{4}}}dx} = - \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{{{{(x + 1)}^3}}}({}_2{F_1}(1,1,\frac{5}{4}, - x) - 1)\]$
Maple 18
$\[\int {{{(\frac{x}{{x + 1}})}^{\frac{1}{4}}}dx} = \sqrt[4]{{\frac{x}{{x + 1}}}}\frac{{{x^{7/4}} + {x^{3/4}} - {}_2{F_1}(\frac{1}{4},\frac{1}{4};{\mkern 1mu} \frac{5}{4};{\mkern 1mu} - x)\sqrt[4]{{{x^3}(x + 1)}}}}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}}\]$
Всё естественно с функцией упрощения (в математике - FullSimplify, в Maple simplify).

-- Пн апр 14, 2014 20:04:52 --

SlayZar
Выражать через $\[t\]$

[provincialka]

Что вы имеете в виду под "тремя интегралами"? Вообще -то он один.

[Ms-dos4]

provincialka

(Оффтоп)

А это я сразу в конец поста смотрю

[provincialka]

Я считала в уме, но вроде там получаются простейшие дроби только первого и второго типа

[Ms-dos4]

Интересно, что "цельный" интеграл легче вычисляется, чем те, которые получились в результате разложения. У меня вышло в итоге

$$\[\int {{{(\sqrt {\frac{x}{{x + 1}}} + 1)}^2}\sqrt[4]{{\frac{x}{{x + 1}}}}dx} = 2\frac{{\sqrt[4]{x}(\sqrt {x(x + 1)} + x + 3)}}{{\sqrt[4]{{x + 1}}}} - 6{\mathop{\rm arth}\nolimits} \sqrt[4]{{\frac{x}{{x + 1}}}}\]$$

[arseniiv]

(Немного ещё о системах компьютерной а..)

Ms-dos4 в сообщении #849795 писал(а):

P.S. А теперь посмеёмся над системами комп. алгебры
Mathematica 9
$\[\int {{{(\frac{x}{{x + 1}})}^{\frac{1}{4}}}dx} = - \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{{{{(x + 1)}^3}}}({}_2{F_1}(1,1,\frac{5}{4}, - x) - 1)\]$
<…>
Всё естественно с функцией упрощения (в математике - FullSimplify, в Maple simplify).

Берём FunctionExpand (это как раз по части всяких гипергеометрических бесселеламберов) и чудесным образом получаем страшное, и после FullSimplify чуть менее, но тоже страшное,

(1/(8 (-x (1 + x))^(1/4)))x^(1/4) (8 (-x)^(1/4) (1 + x) + Sqrt[2] (1 + x)^(1/4) (2 ArcTan[1 - (-x)^(1/4)/(Sqrt[2] (1 + x)^(1/4)), -((-x)^(1/4)/(Sqrt[2] (1 + x)^(1/4)))] + 2 ArcTan[1 + (-x)^(1/4)/(Sqrt[2] (1 + x)^(1/4)), -((-x)^(1/4)/(Sqrt[2] (1 + x)^(1/4)))] + Log[1 + Sqrt[-x]/Sqrt[1 + x] - (Sqrt[2] (-x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)] - Log[1 + Sqrt[-x]/Sqrt[1 + x] + (Sqrt[2] (-x)^(1/4))/(1 + x)^(1/4)]))

…но гипергеометрическости-то там уже нет!

[Ms-dos4]

(Оффтоп)

Как то кривовато он там упрощает, по сравнению с нормальным ответом - чушь какая то. Особенно доставляют всякие $\[\sqrt { - x} \]$ - и хотя я всё понимаю, что у него там всё мнимое сократиться, но смотрится страшно

[SlayZar]

Если не разбивать на части при замене $t=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}$ получаем
$\int{((t^2+1)^2)t dx}$

$dx=(4t^3)(x+1)^2dt=\frac{4x^2t^3}{t^8}dt=\frac{4x^2}{t^5}dt$
Но все равно x остается справа... Как от него избавиться можно?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #849810 писал(а):

Как то кривовато он там упрощает, по сравнению с нормальным ответом - чушь какая то. Особенно доставляют всякие $\[\sqrt { - x} \]$ - и хотя я всё понимаю, что у него там всё мнимое сократиться, но смотрится страшно

Думаю, при правильной игре с областями определения упростится ещё хоть немного. Или надо было брать интеграл сразу с Assuming[Element[x, Reals], интегрирование]…

[Limit79]

SlayZar в сообщении #849826 писал(а):

Как от него избавиться можно?

Наверное, выразить из:

SlayZar в сообщении #849826 писал(а):

$t=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}$

[Ms-dos4]

SlayZar
Как как, вы выразите $\[x\]$ через $\[t\]$. Должно получится $\[dx = \frac{{4{t^3}}}{{{{({t^4} - 1)}^2}}}dt\]$