Oригинал и изображение

[Logan]

Дан оригинал, нужно найти изображение. Не знаю что делать с $t^{3}$

Подсказали формулу \begin{array}{l}f\left( t \right) \buildrel\textstyle.\over= F\left( p \right)\\{\left( { - 1} \right)^n}{t^n}f\left( t \right) \buildrel\textstyle.\over= {F^{\left( n \right)}}\left( p \right)\end{array}

Но я не уверен что правильно ей воспользовался.

$f(t)=t^{3}\sin3t\cos2t$

$t^{3}\cdot (-1)^{-3}\cdot t^{-3}\cdot \frac{\sin5t+sint}{2}$

$-\frac{\sin5t}{2}-\frac{\sin t}{2}$

$F(s)\doteq (-\frac{5}{2(s^{2}+25)}-\frac{1}{2(s^{2}+1)})^{-3}$

$F(s)\doteq \frac{1}{(-\frac{5}{2(s^{2}+25)}-\frac{1}{2(s^{2}+1)})^{3}}$

[Otta]

Ну, как Вы с ним сурово.

Давайте попроще задачку.
Найдите изображение $t\sin 2t$.

[Logan]

Изображение будет $\frac{4s}{(s^2+4)^2}$

Но это просто заглянув в таблицу.

-- Вс апр 13, 2014 22:22:40 --

Все понял, там производная изображения а не возведение в степень.

Пошел решать свой пример.

[Otta]

Я таблиц не боюсь. ))
А теперь придумайте, как получить то же, пользуясь правилом дифференцирования изображения.
Оно ведь так и получалось.

-- 14.04.2014, 00:25 --

Logan в сообщении #849327 писал(а):

Все понял, там производная изображения а не возведение в степень.

А, то-то же.

[Logan]

Это единственный способ решения с помощью производной третьего порядка?

На бумаге искать её очень муторно.

[Otta]

На тот вопрос, что Вы удалили - ответ "да". Действительно третью.
Другой вопрос, что никто не заставляет Вас заниматься именно синусом. Синус всегда можно представить в виде суммы экспонент и заниматься уже ими. А потом свернуть, буде необходимость. Чем плохо?

[Logan]

Это по формуле Эйлера перейти к экспонентам и далее к изображению и производным?

[Otta]

Чего Вы перестраховываетесь? Дерзайте!

[Logan]

$F(p)=\frac{e^{-\frac{p}{3}}}{p(p^{2}+1)}$

Нужно найти оригинал.

С помощью теоремы интегрирования оригинала

$\frac{1}{p(p^{2}+1)}\doteq 1-\cos t$

Дальше теорема сдвига оригинала, её я не понимаю?

$1-\cos (t-\frac{1}{3})$

А вольфрам вообще удивляет

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+LT+%28e^%28-p%2F3%29%2F%28%28p^2%2B1%29*p%29%29[/url]

[Ms-dos4]

В чём проблема то? По теореме о сдвиге имеете $\[F(p){e^{ - p\tau }} \to f(t - \tau )\theta (t - \tau )\]$. Тогда $\[\frac{{{e^{ - \frac{1}{3}p\tau }}}}{{p({p^2} + 1)}} \to f(t - \frac{1}{3})\theta (t - \frac{1}{3})\]$, где $\[\frac{1}{{p({p^2} + 1)}} \to f(t)\]$. Окончательно имеете $\[(1 - \cos (t - \frac{1}{3}))\theta (t - \frac{1}{3})\]$

[Logan]

Собственно больше нет проблемы.

В моей таблице просто это выглядело так

[Ms-dos4]

Logan
А вы знаете, что такое функция Хевисайда?

[Logan]

Функция единичного скачка которая принимает значение 1 при $t\geq 0$ и значение ноль при $t< 0$
В моем случае с задержкой на 1/3.
Насчет формулы мне теперь понятно что это запись одного и того же.

[Logan]

Помогите найти оригинал.

$F(p)=\frac{e^{-p}}{p^{2}-2p+5}+\frac{e^{-2p}}{p^{2}+9}$

$\frac{e^{-p}}{p^{2}-2p+5}+\frac{e^{-2p}}{p^{2}+9}=e^{-p}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{(p-1)^{2}+2^{2}}+e^{-2p}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{p^{2}+3^{2}}$

$f(t)=\frac{e^{t-1}\sin(2t-2)\theta (t-1)}{2}+\frac{\theta (t-2)\sin(3t-6)}{3}$

[Ms-dos4]

В чём помогать? Вы уже всё нашли.