Вычислить предел последовательности

[Firth]

Добрый день, наткнулся тут на одну задачку, очень хочется знать как такую решать:

Найти предел последовательности

$$\frac{1^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+...+\frac{(2n-1)^2}{n^3}$$

Могу ли я просто найти сумму ряда?

$$\lim_{n\to\infty}\sum^{\infty}_{i=1}\frac{(2i-1)^2}{n^3}$$

Тут у нас геометрическая прогрессия для поиска суммы воспользуемся формулой.

$$\frac{b_1}{1-q}$$

где

$$q=b_i/b_{i-1}$$

$$b_i=\frac{(2i-1)^2}{n^3} \qquad b_{i-1}=\frac{(2i-3)^2}{n^3}$$

$$q=\frac{(2i-1)^2}{(2i-3)^2}$$

Вот тут меня терзают сомнения ибо $\quad b_1=\frac{1^2}{n^3}$ и при $n\to\infty \quad b_1=0$
тогда ответ 0? У меня ощущение что я ошибся.

[provincialka]

Firth в сообщении #849291 писал(а):

Тут у нас геометрическая прогрессия

Нет! Не геометрическая!

[Otta]

Угу, ошиблись. Ряды тут ни при чем.
- Можно привести к общему знаменателю, если Вы сумеете сложить числители,
- можно свести все к интегральной сумме.

[mihailm]

Firth в сообщении #849291 писал(а):

Добрый день, наткнулся тут на одну задачку, очень хочется знать как такую решать...

Тут основная сложность в нахождении в замкнутом виде суммы числителей для любого $n$.
Задача уровня школьной олимпиады .
Попробуйте вывести эту формулу из известной $\sum_{k=1}^n {k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

[ewert]

Firth в сообщении #849291 писал(а):

наткнулся тут на одну задачку,

Где наткнулись-то?...

Это -- стандартная задачка на интегральные суммы, и в этом случае она совсем дешёвая. В противном же случае надо тупо и уныло искать или выводить формулу для суммы квадратов, да.

[Firth]

Ооо спасибо большое, тогда попробуем так:
Из известной формулы имеем

$$\sum_{k=1}^{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

полагаем $k=2i-1 \quad k^2=(2i-1)^2= 4i^2-4i+1$

$$\frac{4}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2-\frac{4}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}1$$

Далее получаем

$$\frac{4}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{4}{2n^3}(1+n)n+\frac{1}{n^2}$$

Два последних слагаемых равны 0 при $n\to\infty$

а первое $\frac{8n^3+3n^2+2n}{6n^3}$ равно $4/3$ при $n\to\infty$

Вот теперь правдоподобно нооо... правильно ли?

[provincialka]

Firth в сообщении #849697 писал(а):

Вот теперь правдоподобно нооо... правильно ли?

Откуда четверка в знаменателе?

[Firth]

Исправил

[provincialka]

У меня другим способом получилось так же.

[Firth]

Спасибо большое всем.