Обыкновенное нелинейное дифф. ур-е, помогите вспомнить

[diffeq]

Последний раз диференциальные уравнения встречались мне около 10-ти лет назад, а тут решаю одну задачу по работе и получилось вот такое:
$\frac{2y^2(x)+1}{y(x)} dy = \frac{2x^2+1}{x} dx$
Начальное условие: $y(0) = y_0$

Интуиция подсказывает, что решение экспоненциальное, но с какой стороны к этому уравнению подойти, я без понятия. Помогите пожалуйста, не поднимать же весь курс диффуров...

[_Ivana]

Если это не учебная задача для усвоения курса, а практическая по работе, то почему бы не скормить ее какому-нибудь матпакету?

[diffeq]

Я скормил сейчас Wolfram Alpha (другого нет) [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%282y^2%2B1%29%2Fy%29+dy+%3D+%28%282x^2%2B1%29%2Fx%29+dx[/url] , он что-то выдал, но я не совсем понимаю обозначения. $c_1$ - костанта, что такое W? Но основная причина - хочется разобраться по-старинке, вручную.

[ИСН]

А вручную это уравнение с разделяющимися переменными.

[Nemiroff]

Там написано:

Цитата:

W(z) is the product log function

[diffeq]

Nemiroff в сообщении #849532 писал(а):

Там написано:

Цитата:

W(z) is the product log function

Да, действительно. А я искал и не заметил...

-- 14.04.2014, 13:10 --

ИСН в сообщении #849531 писал(а):

А вручную это уравнение с разделяющимися переменными.

Это я тоже понял. А как дальше? Помню, что надо интегрировать. Но что и по чему?

[ИСН]

Лево по y, право по x. Там ведь уже стоят dy и dx, соответственно.

[diffeq]

Спасибо. Я увидел, что ProductLog задана неявно. Я хочу избежать нетривиальной нумерики, поэтому такой вопрос: если известно, что x и y всегда много больше единицы, обычно я бы работал с приближением $ydy = -xdx$ (такое решу даже я, если вникну), но как обстоит дело в случае дифф. уравнения? Можно ли просто взять и отбросить малую величину? Насколько я понимаю, это повлияет только на величину константы после интегрирования, или это не так?
PS: также известно, что $y$ монотонна везде, где она определена.

[ИСН]

Минус откуда взялся?

[diffeq]

ИСН в сообщении #849579 писал(а):

Минус откуда взялся?

Он там всегда был в принципе, я его в первом сообщении потерял.

[Ms-dos4]

С дифурами в общем случае так делать нельзя. Если пренебрежение единицей в части с иксами можно понять, то в части с функциями - нет. И начальное условие у вас фиговенько задано, либо изначальное уравнение было не такое, и вы делили на $\[x\]$.

[diffeq]

Ms-dos4 в сообщении #849600 писал(а):

С дифурами в общем случае так делать нельзя. Если пренебрежение единицей в части с иксами можно понять, то в части с функциями - нет. И начальное условие у вас фиговенько задано, либо изначальное уравнение было не такое, и вы делили на $\[x\]$.

А почему в части с функциями нельзя пренебречь? Даже если известно, что $y(x)\gg 1$? С минусами и иксами получилось немного нехорошо, я позже правил исходный пост и недоправил. Но в теперешней форме он такой, каким должен быть.

Начальное условие задано просто, чтоб было. Я сейчас поясню. В задаче верёвка наматывается с одного барабана на другой в один ряд, то есть спиралью. Это уравнение у меня получилось для зависимости прироста угла поворота одного барабана от угла поворота другого. Поэтому начальное условие там можно привязать к длине верёвки.

[provincialka]

diffeq, вы бы все-таки выписали решение исходного уравнения, оно же просто решается. А там уж можно посмотреть что отбрасывать, что нет.

[Mopnex]

Вы здесь всё равно $y$ через $x$ не выразите, хоть уравнение и решается в так называемых квадратурах. Так что с пакетами по любому придётся.

[ИСН]

C другой стороны, в дальней области приближение может-таки быть адекватным.